文档介绍：第一节可测函数的定义及其性质
第四章可测函数
一. 可测函数定义
定义:设f(x)是可测集E上的实函数(可取),
若可测,则称f(x)是E上的可测函数
注(2): 在可测函数作用下, 可测集的原像还是可测集.
(2)简单函数是可测函数
注:Dirichlet函数是简单函数
0 1
若( Ei 可测且两两不交),f(x)在
每个Ei上取常值 ci,则称f(x)是E上的简单函数;
例(1) 零集上的任何函数都是可测函数。
(3)可测集E上的连续函数f(x)必为可测函数
对比:设f(x)为(a,b)上有限实函数,
( ) ( ) ( )
设f(x)为E上有限实函数,称f(x) 在处连续
结论:可测集E上的连续函数f(x)定为可测函数
证明:任取x∈E[f>a], 则f(x)>a,由连续性假设知,
( )
x0
f(x0)+ε
f(x0)
f(x0)-ε
a
则G为开集,当然为可测集,且
⑷ R中的可测子集E上的单调函数f(x)必为可测函数。
a
I a x1 x2
由f单调增知下面的集合为可测集
证明:不妨设f单调增,对任意a∈R
二. 可测函数的等价描述
证明:利用(1)与(4),(2)与(3)互为余集,以及
⒈定义:设f(x)是可测集E上的实函数,则
f(x)在E上可测
对前面等式的说明
( [
a-1/n a
( [
a a+1/n
三. 可测函数的性质
定理1: 可测函数关于子集、并集的性质
反之,若, f(x)限制在En上是可测函数,
则f(x)在E上也是可测函数。
即:若f(x)是E上的可测函数, 可测,
则f(x)限制在E1上也是可测函数;
即:若f(x),g(x)是E上的可测函数,
则f(x)+g(x) , f(x) -g(x) , f(x)g(x) , f(x)/g(x)
仍为E上的可测函数。
a-g(x) r f(x)
定理2: 可测函数类关于四则运算封闭