文档介绍：《科学文化评论》第5卷第4期(2008):
学术沙龙
一种自然主义的数学哲学
叶峰
摘要本文是对笔者最近几年提出的一个自然主义数学哲学研究方案的介绍。在简要介绍这个研究的背景之后,本文将首先说明这个研究的哲学基础,即自然主义,然后介绍这个研究方案的基本思想及一些具体的成果,它们涉及到意义、真理与逻辑的自然化,解释数学知识的本性,解释数学的客观性与先天性,及解释数学的可应用性等等。
关键词自然主义数学哲学分析哲学
§1 背景
当代数学哲学的中心问题来源于以下两个表面上互相冲突因而令人困惑的事实作者简介:叶峰,北京大学哲学系副教授。本文得到2005年度国家社会科学基金项目“当代数学哲学问题研究”资助(批准号05BZX049)。
关于当代数学哲学的更多的背景可参考Benacerraf and Putnam 1983, Shapiro 2005, 叶峰2005,叶峰2006,以及笔者的一本未完成的书稿《二十世纪数学哲学——一个自然主义者的评述》(/cllc/people/fengye/)。
:一方面,现代数学似乎在研究一个无穷的、独立于物质世界的抽象数学世界;而另一方面,现代科学将人类描述为这个物质世界中的事物的自然进化的产物,而且人类的知识都来源于由基因决定的有限大脑的内在结构以及大脑与环境之间的物质上的相互作用。因此,人类的大脑如何可能认识到那些独立于物质世界的抽象数学世界中的对象,尤其是无穷的抽象数学对象?比如,在物理学中,我们对之能够有比较确定的知识的事物都是有限的,即从微观的普朗克尺度(即10-35米等)到宏观上有限的宇宙尺度范围内的事物。虽然我们用连续的数学模型来描述时空结构,但我们知道那只是对普朗克尺度以上的时空结构的一种近似。在物理学中我们从不曾肯定地认识到无穷。这与我们自身的有限性是相一致的。有限的大脑,借助于有限的仪器,只能探测到相对于大脑与感官的有限范围内的事物。但另一方面,在现代数学中我们似乎非常肯定地断言有无穷的数学对象存在,比如,有无穷多个自然数存在,不可数无穷多的实数存在,乃至于任意大的无穷基数存在。这些无穷的抽象数学对象,如果确实存在的话,一定是独立于物质世界的,因为它们不是我们所认识的物质世界中的有限事物的抽象。注意,这里并没有假设物质世界一定是有限的。要点在于,科学对物质世界是否无穷没有确定的信念,而数学似乎很确定地断言无穷存在。因此数学中所说的无穷对象应该是独立于物质世界的。这样,我们的有限的、物质性的大脑究竟是如何认识到数学中的无穷的?
当代数学哲学的种种流派对此提出不同的回答。这些流派可大致地分为两类:数学实在论认为确实存在着一个无穷的、客观的、独立于物质世界也独立于我们人类的抽象数学世界,然后他们试图说明我们如何可能认识那个抽象数学世界。比如,二十世纪最伟大的逻辑学家哥德尔(K. Gödel)认为,我们不仅仅是物质性的大脑,而是有某种非物质的心灵,而且心灵有某种直觉能力可以直接地认识那个抽象数学世界中的事物。又比如,哲学家蒯因(W. V. Quine)试图从无穷数学在自然科学中的应用的角度,来说明我们可以认识到无穷的数学对象。实在论面临着一些困难。最根本的难点依旧是,它与现代科学所描绘的人类的有限的物质构成及人类的认知活动仅仅是物质性的大脑与环境之间的物质性的相互作用这