文档介绍：第八章圆锥曲线
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椭圆方程及性质
一、明确复习目标
、标准方程,了解椭圆的参数方程
;掌握a,b,c,e等参数的几何意义及关系.

1. 椭圆的两种定义:
(1)平面内与两定点F1,F2的距离的和等于定长的点的轨迹,即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|};(时为线段,无轨迹)。其中两定点F1,F2叫焦点,定点间的距离叫焦距。
(2)平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹,即点集M={P| ,0<e<1的常数。(为抛物线;为双曲线)
2. 标准方程:(1)焦点在x轴上,中心在原点:(a>b>0);
焦点F1(-c,0), F2(c,0)。其中(一个)
(2)焦点在y轴上,中心在原点:(a>b>0);
焦点F1(0,-c),F2(0,c)。其中
(3)两种标准方程可用统一形式表示:Ax2+By2=1 (A>0,B>0,A≠B当A<B时,椭圆的焦点在x轴上,A>B时焦点在y轴上),这种形式用起来更方便。
:对于椭圆:(a>b>0)如下性质必须熟练掌握:
①范围; ②对称轴,对称中心; ③顶点;
④焦点; ⑤准线方程; ⑥离心率; (参见课本)
此外还有如下常用性质:
⑦焦半径公式: |PF1|==a+ex0,|PF2|==a-ex0;(由第二定义推得)

⑧焦准距;准线间距;通径长;
⑨最大角
证:设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则
对于椭圆:(a>b>0)的性质可类似的给出(请课后完成)。
,b,c,e与坐标系无关,是椭圆本身所固有的,决定椭圆形状的参数,而焦点坐标,准线方程,顶点坐标,与坐标系有关.
:
;注意θ不是∠xOP(x,y).
“点差法”及结论:
设椭圆:上弦AB的中点为M(x0,y0),则斜率kAB=,
对椭圆:, 则kAB=.
三、双基题目练练手
1.(2006全国Ⅱ)已知△ABC的顶点B、C在椭圆上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在
BC边上,则△ABC的周长是( )
A. C.
2.(2005广东) 若焦点在轴上的椭圆的离心率为,则m=( )
A. B. C. D.
3. (2006山东)在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心离为( )
A. B. C. D.
、F2为椭圆的两个焦点,以F2为圆心作圆F2,已知圆F2经过椭圆的中心,且与椭圆相交于M点,若直线MF1恰与圆F2相切,则该椭圆的离心率e为( )
A. -1 - C. D.
,短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形,焦点到椭圆上的点的最短距离是,则这个椭圆方程为__________________.
6.(2006四川15)如图把椭圆的长轴AB分成8份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于,,……七个点,F是椭圆的一个焦点,则____________.
简答提示:1-;
,(2a-c)2+c2=4c2,()2+2()-2=0,=-1.
5. +=1或+=1;
,,同理其余两对的和也是,
又,∴=35
四、经典例题做一做
【例1】若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点,M为AB的中点,直线OM(O为原点)的斜率为,且OA⊥OB,求椭圆的方程.
分析:欲求椭圆方程,需求a、b,为此需要得到关于a、b的两个方程,⊥OB,易得a、b的两个方程.
解法1:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0).
∴(a+b)x2-2bx+b-1=0.
由
x+y=1,
ax2+by2=1,
∴x0==,y0==1-=.
∴M(,).
∵kOM=,∴b=a. ①
∵OA⊥OB,∴·=-1.
∴x1x2+y1y2=0.
∵x1x2=,y1y2=(1-x1)(1-x2),
∴y1y2=1-(x1+x2)+x1x2
=1-+=.
∴+=0.
∴a+b=2. ②
由①②得a=2(-1),b=2(-1).
∴所求方程为2(-1)x2+2(-1)y2=1.
法2:(点差法)由ax1+by1=1, ax2+by2=1相减得
,即…下同法1.
提炼方法:,即设出A(x1,y1),B(x2,y2),借助韦达定理推出b=a..再由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0