文档介绍：一、
由于湖面足够宽阔而物块体积很小,所以湖面的绝对高度在物块运动过程中始终保持不变,因此,可选湖面为坐标原点并以竖直向下方向为正方向建立坐标系,以下简称系. 设物块下底面的坐标为,在物块未完全浸没入湖水时,其所受到的浮力为
() (1)
(2) 设物块的加速度为,根据牛顿第二定律有
(3) 将(1)和(2)式代入(3)式得
(4)
将系坐标原点向下移动而建立新坐标系,简称系. 新旧坐标的关系为
(5) 把(5)式代入(4)式得
(6)
(6)式表示物块的运动是简谐振动. 若,则,对应于物块的平衡位置. 由(5)式可知,当物块处于平衡位置时,物块下底面在系中的坐标为
(7)
物块运动方程在系中可写为
(8) 利用参考圆可将其振动速度表示为
(9) 式中为振动的圆频率
(10) 在(8)和(9)式中和分别是振幅和初相位,由初始条件决定. 在物块刚被释放时,即时刻有,由(5)式得
(11)
(12)
由(8)至(12)式可求得
(13) (14)
将(10)、(13)和(14)式分别代人(8)和(9)式得
(15) (16)
由(15)式可知,物块再次返回到初始位置时恰好完成一个振动周期;但物块的运动始终由(15)表示是有条件的,那就是在运动过程中物块始终没有完全浸没在湖水中. 若物块从某时刻起全部浸没在湖水中,则湖水作用于物块的浮力变成恒力,物块此后的运动将不再是简谐振动,物块再次返回到初始位置所需的时间也就不再全由振动的周期决定. 为此,必须研究物块可能完全浸没在湖水中的情况. 显然,在系中看,物块下底面坐标为时,物块刚好被完全浸没;由(5)式知在系中这一临界坐标值为
(17)即物块刚好完全浸没在湖水中时,其下底面在平衡位置以下处. 注意到在振动过程中,物块下底面离平衡位置的最大距离等于振动的振蝠,下面分两种情况讨论:
I.. 由(13)和(17)两式得
(18)
在这种情况下,物块在运动过程中至多刚好全部浸没在湖水中. 因而,物块从初始位置起,经一个振动周期,再次返回至初始位置. 由(10)式得振动周期
(19)
物块从初始位置出发往返一次所需的时间
(20)
II.. 由(13)和(17)两式得
(21)
在这种情况下,物块在运动过程中会从某时刻起全部浸没在湖水表面之下. 设从初始位置起,经过时间物块刚好全部浸入湖水中,这时. 由(15)和(17)式得
(22)
取合理值,有
(23) 由上式和(16)式可求得这时物块的速度为
(24)
此后,物块在液体内作匀减速运动,以表示加速度的大小,由牛顿定律有
(25)
设物块从刚好完全浸入湖水到速度为零时所用的时间为,有
(26)
由(24)-(26)得
(27)
物块从初始位置出发往返一次所需的时间为
(28)
评分标准:
本题17分.(6)式2分,(10)(15)(16)(17)(18)式各1分,(20)式3分,(21)式1分,(23)式3分,(27)式2分,(28)式1分.
二、
1.
R
,卫星的机械能为负值. 由开普勒第一定律可推知,此卫星的运动轨道为椭圆(或圆),地心为椭圆的一个焦点(或圆的圆心),,因此脱离点必为卫星椭圆轨道的远地点(或近地点);设近地点(或远地点)离地心的距离为,
(1)
,根据机械能守恒定律有
(2) 由(1)和(2)式解得
(3)可见该点为近地点,而脱离处为远地点.
【(3)式结果亦可由关系式:
直接求得】
同步卫星的轨道半径满足
(4)
由(3)和(4)式并代入数据得
(5)
可见近地点到地心的距离大于地球半径,因此卫星不会撞击地球.
ii. 由开普勒第二定律可知卫星的面积速度为常量,从远地点可求出该常量为
(6) 设和分别为卫星椭圆轨道的半长轴和半短轴,由椭圆的几何关系有
(7)
(8)
卫星运动的周期为
(9)
代人相关数值可求出
(10)
卫星刚脱离太空电梯时恰好处于远地点,根据开普勒第二定律可知此时刻卫星具有最小角速度,其后的一周期内其角速度都应不比该值小,所以卫星始终不比太空电梯转动得慢;换言之,(约14小时),卫星到达近地点,而此时太空电梯已转过此点,-12小时内二者不可能相遇;而在卫