文档介绍：数学高考综合能力题选讲30
是否存在型的探索性问题
100080 北京中国人民大学附中梁丽平
题型预测
一般来说,是否存在型问题,,由于这类问题的结论较少(只有存在、不存在两个结论,有些时候须讨论),因此,思考途径较为单一,难度易于控制,受到各类考试的命题者的青睐.
解答这一类问题,往往从承认结论、变结论为条件出发,然后通过特例归纳,,注意条件的完备性,不要忽略任何可能的因素.
范例选讲
,,且对于任意自然数,总有,是否存在实数,使得对于任意自然数恒成立?证明你的结论.
讲解:是一个一般性的结论,为了探求是否存在,我们可从特殊的n出发,求出的值,再检验是否满足一般的条件.
由,,代入,可解得.
代入检验,可知当时,一方面由得,另一方面,由
得,矛盾.
所以,这样的实数不存在.
上述过程是解答这一类问题的一般方法,但对于本题,,不难发现,如果这样的存在的话,则由,可得:.
对两边取极限,得,解得或3.
若,则数列应该是以1为首项,以为公比的等比数列,显然,不可能对任意的正整数n都满足;若,将代入,可求得-3,此时,,验证即可得出矛盾.
作为探索是否存在的一种手段,后一种方法显然优于前一种.
点评:探索,常常遵循“从一般到特殊,再从特殊到一般”、特定的实例入手,从中探测出问题的结论,再经过严格的论证.
(是自然数)是奇函数,有最大值,且.
(Ⅰ)试求函数的解析式;
(Ⅱ)是否存在直线与的图象只交于P、Q两点,并且使得P、Q两点的中点为(1,0)点,若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.
讲解:(Ⅰ)由为奇函数易知:.
又因为是自然数,所以,当时,<0;当时,
.所以,的最大值必在时取得.
当时,,等号当且仅当时取得.
所以,.
又,所以,.结合是自然数,可得:.
所以,.
(Ⅱ)对于“是否存在型”的问题,一般探索的方法为:假设存在,导出矛盾,或者从部分结论出发,导出其存在的必要条件,再验证是否充分.
根据上述思路,我们可以假设存在满足条件的直线,则、Q的坐标可为P,.:
消去,得,解得:.
所以,或.
所以,直线的方程为:.
的存在性还须通过充分性的检验.
把直线的方程与函数联立,不难求得,共有三组解:
.
因此,直线与的图象共有三个交点,与“只交于两点”,满足条件的直线不存在.
在得到这样的解答之后,我们不妨回头再看一看,在上述过程中,函数的性质(如奇偶性),则可以得到其他不同的探索过程.
解2:设,则由为奇函数可知:P关于原点的对称点也在的图像上,
又,所以,,且,故问题等价于:
是否存在直线,使得与有两个距离为2的交点.
将代入,解之得:,令,解得:,,
所以,,此时直线的方程为
充分性的检验过程同上.
“只交于两点”,则可以得到下面简洁的解法.
解3:当直线的斜率不存在时,,此时与函数的图像只交于一点,不满足题设,所以