文档介绍：多变量时间序列模型
本章主要内容
多变量时序模型
Granger因果分析
结构VAR模型的识别。
第一节 VAR分析

1980年Sims提出向量自回归模型(vector autoregressive model)。这种模型采用多方程联立的形式,它不以经济理论为基础,在模型的每一个方程中,内生变量对模型的全部内生变量的滞后值进行回归,从而估计全部内生变量的动态关系。
VAR模型是自回归模型的联立形式,所以称向量自回归模型。假设y1t,y2t之间存在关系,如果分别建立两个自回归模型
则无法捕捉两个变量之间的关系。如果采用联立的形式,就可以建立起两个变量之间的关系。VAR模型的结构与两个参数有关。一个是所含变量个数N,一个是最大滞后阶数k。
以两个变量y1t,y2t滞后1期的VAR模型为例,
(1)
其中, 。写成矩阵形式是,
=++ (2)
设, , , , ,
则
(3)
那么,含有N个变量滞后k期的VAR模型表示如下:
, (4)
其中,

,

为N´1阶时间序列列向量。为N´1阶常数项列向量。P1, …, Pk 均为N´N阶参数矩阵, 是N´1阶随机误差列向量,其中每一个元素都是非自相关的,但这些元素,即不同方程对应的随机误差项之间可能存在相关。
因VAR模型中每个方程的右侧只含有内生变量的滞后项,他们与是不相关的,所以可以用OLS法依次估计每一个方程,得到的参数估计量都具有一致性。
VAR模型的特点是:
(1)不以严格的经济理论为依据。在建模过程中只需明确两件事:①共有哪些变量是相互有关系的,把有关系的变量包括在VAR模型中;②确定滞后期k。使模型能反映出变量间相互影响的绝大部分。
(2)VAR模型对参数不施加零约束。(参数估计值有无显著性,都保留在模型中)
(3)VAR模型的解释变量中不包括任何当期变量,所有与联立方程模型有关的问题在VAR模型中都不存在。
(4)VAR模型的另一个特点是有相当多的参数需要估计。比如一个VAR模型含有三个变量,最大滞后期k = 3,则有k N 2 = 3 ´ 32 = 27个参数需要估计。当样本容量较小时,多数参数的估计量误差较大。
(5)无约束VAR模型的应用之一是预测。由于在VAR模型中每个方程的右侧都不含有当期变量,这种模型用于预测的优点是不必对解释变量在预测期内的取值做任何预测。
西姆斯(Sims)认为VAR模型中的全部变量都是内生变量。近年来也有学者认为具有单向因果关系的变量,也可以作为外生变量加入VAR模型。

2 VAR模型的稳定性特征
现在讨论VAR模型的稳定性特征。稳定性是指当把一个脉动冲击施加在VAR模型中某一个方程的新息(innovation)过程上时,随着时间的推移,分析这个冲击是否会逐渐地消失。如果是逐渐地消失,系统是稳定的;否则,系统是不稳定的。
下面分析一阶VAR模型
(5)
为例。当t = 1时,有
(6)
当t = 2时,采用迭代方式计算,
(7)
当t = 3时,进一步迭代,
(8)
……
对于t期,按上述形式推导
(9)
通过上述变换,把表示成了漂移项向量、初始值向量和新息向量的函数。可见系统是否稳定就决定于漂移项向量、初始值向量和新息向量经受冲击后的表现。
假定模型是稳定的,将有如下3个结论。
(1)假设t = 1时,对施加一个单位的冲击,那么到t期的影响是

当时,此影响是一个有限值,。
(2)假设在初始值上施加一个单位的冲击。到t期的影响是。随着,,影响消失(因为对于平稳的VAR模型,中的元素小于1,所以随着,取t次方后,)。
(3)从项可以看出,白噪声中的冲击离t期越远,影响力就越小。
对单一方程的分析知道,含有单位根的自回归过程对新息中的脉动冲击有长久的记忆能力。同理,含有单位根的VAR模型也是非平稳过程。当新息中存在脉动冲击时,VAR模型中内生变量的响应不会随时间的推移而消失。
平稳变量构成的一定是稳定(stability)的模型,但稳定的模型不一定由平稳变量构成。也可能由非平稳(nonstationary)变量(存在协整关系)构成。
3 VAR模型稳定的条件
VAR模型稳定的充分与必要条件是的所有特征值都要在单位圆以内(在以横轴为实数轴,纵轴为虚数轴的坐标体系中,以原点为圆心半径为1的圆称为单位圆),或特征值的模都要小于1。
。以AR(2)过程
(10)
为例。改写为
(11)
稳定的条件是的根必须在单位圆以外。
,用特征方程判别稳定性。以(5) 式,为例,改写为
(12)
其中。VAR模型稳定的条件是特征方程的根