文档介绍：趋势模型的拟合
本章内容
正确理解趋势平稳和差分平稳的概念;
掌握不同趋势的剔出方法;
掌握单位根的检验方法;
掌握ARIMA模型的拟合方法。
第一节趋势平稳与差分平稳
时间序列的分解
1. 确定性序列与随机序列的定义
对任意序列而言,令关于q期之前的序列值作线性回归
其中为回归残差序列, 。
若,则确定性序列,
若,则称为随机序列,

2. 时间序列的分解
Wold分解定理(1938)
对于任何一个离散平稳过程它都可以分解为两个不相关的平稳序列之和,其中一个为确定性的,另一个为随机性的,不妨记作
其中: 为确定性序列, 随机序列,,它们需要满足如下条件
:
(1) (2)
(3)
Cramer分解定理(1961)
任何一个时间序列都可以分解为两部分的叠加:其中一部分是由多项式决定的确定性趋势成分,另一部分是平稳的零均值误差成分,即
是确定性趋势, 是随机性影响
对两个分解定理的比较
Wold分解定理说明任何平稳序列都可以分解为确定性序列和随机序列之和。它是现代时间序列分析理论的灵魂,是构造ARMA模型拟合平稳序列的理论基础。
Cramer 分解定理是Wold分解定理的理论推广,它说明任何一个序列的波动都可以视为同时受到了确定性影响和随机性影响的综合作用。平稳序列要求这两方面的影响都是稳定的,而非平稳序列产生的机理就在于它所受到的这两方面的影响至少有一方面是不稳定的。
趋势平稳与随机平稳
1. 趋势平稳
其中是平稳成分, 则是趋势平稳的。

则是随机趋势成分,这时,不能通过剔除时间趋势而平稳,只能通过差分平稳,所以是差分平稳的。

随机游动模型:
4. 随机游动加漂移模型
随机游动加漂移模型:
可以改写为:
5. 广义的随机趋势模型
随机游动加噪声模型:

趋势加噪声模型:
广义的趋势加非规则模型:

6. 趋势的剔除方法
趋势平稳模型:趋势平稳模型可以采用趋势剔除法。
随机趋势模型:随机趋势模型需用差分法进行平稳化。
第二节单位根检验
各种随机过程的表现形式
在介绍单位根检验之前,先认识一下各种随机过程的表现形式。
(1)白噪声过程(white noise,如图1)。属于平稳过程。

图3是日元兑美元差分序列,近似于白噪声序列。
(2)随机游走过程(random walk,如图2)。属于非平稳过程。

图2是日元兑美元序列,近似于随机游走序列。随机游走的差分过程是平稳过程(白噪声过程)。

图1 白噪声序列(s2=1) 图2 随机游走序列(s2=1)

图3 日元兑美元差分序列图4深圳股票综合指数

图5 随机趋势非平稳序列(c= ) 图6 随机趋势非平稳序列(c = -)
(3)随机趋势非平稳过程(stochastic trend process)或差分平稳过程(difference- stationary process)、有漂移项的非平稳过程(non-stationary process with drift)。见图5和6。属于非平稳过程。
,
迭代变换,
因为随机趋势过程是由一个确定性时间趋势和一个随机游走组合而成,所以随机趋势过程由确定性时间趋势所主导,表现出很强的趋势性。围绕着变化,但不会回到。趋势的方向完全由的符号决定。为正时,趋势向上(见图5);为负时,趋势向下(见图6)。对做一阶差分,,为平稳过程。随机趋势非平稳过程的差分过程是平稳过程。

图7 退势平稳序列(m =0, c=) 图8 确定性趋势非平稳序列(m =, c=)
(4)趋势平稳过程(trend-stationary process)或退势平稳过程(见图7)。属于非平稳过程。
,
因为该过程是由确定性趋势和平稳随机过程组成,所以称为趋势平稳过程。趋势平稳过程由确定性时间趋势t所主导。减去确定性时间趋势项之后,过程变为平稳过程,所以也称退势平稳过程。
趋势平稳过程的差分过程是过度差分过程, 。所以应该用退势的方法获得平稳过程,。
(5)确定性趋势非平稳过程(non-stationary process with deterministic trend)(如图8)。属于非平稳过程。
,
确定性趋势非平稳过程中含有随机趋势、确定性趋势并含有单位根成分。过程由确定性时间趋势所主导。减去确定性时间趋势项之后,过程仍是非平稳过程。这种过程的时间趋势性比随机趋势非平稳过程和退势平稳过程更强烈、明显。
确定性趋势非平稳过程的差分过程是退势平稳过程,。确定性趋势非平稳过程的退势过程