文档介绍：
模型为AR(1)-GARCH(1,1),假定εt服从自由度为v的标准化的t分布,导出数据的条件对数似然函数。
数据为r=[r1, r2, …… rn]
模型为
rt=u+φ1rt-1+at
at=σtεt
σt2=α0+α1at-12+β1σt-12
由于εt服从自由度为v的标准化的t分布,所以有εt的概率密度函数为
f(εt)=Гv+12Гv2v-2π1+εt2v-2-(v+1)/2
其中Г(x)为Gamma函数(Гx=0infyx-1e-ydy)
由于at=σtεt,at的条件似然函数为
f(am+1,……,at)=t=m+1TГv+12Гv2v-2π1σt1+εt2(v-2)σt^2-(v+1)/2
所以对数条件似然函数为
L=T{ln(Гv+12)-ln(Гv2)-12ln[(v-2)n]}- 12t=1T[ln(σt2)+(1+v)ln(1+ at^2(v-2)σt^2)]
带入实际的数据
T=t,at=rt-u-φ1rt-1,同时又有σt2=α0+α1at-12+β1σt-12,所以有了第一个σ1后就可以递推出其余的σt。
对Intel股票的对数收益率建立GARCH模型,并进行向前1到5步的波动率预测。
数据的图形如下:
同时ACF和PACF如下:
可知模型的基本形式应该为MA(1)。
尝试对残差建立ARMA(0,1)~Garch(1,1)模型,结果为
*-----------------------------------------------------*
* GARCH Model Fit *
*-----------------------------------------------------*
Conditional Variance Dynamics
-----------------------------------
GARCH Model : sGARCH(1,1)
Mean Model : ARFIMA(1,0,0)
Distribution : norm
Optimal Parameters
------------------------------------
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu
ar1
omega
alpha1
beta1
LogLikelihood :
检验残差的ACF
发现模型可以满足要求。
所以最终拟合的Garch模型为
(1-*B)yt=+εt
εt =ut*ht ht~N(0,σn2)
ut2=+*at-12+*σt-12
下面是向前1到5步的预测结果
*---------------------------------------------------------*
* GARCH Model Forecast *
*---------------------------------------------------------*
Model: sGARCH
Horizon: 10
Roll Steps: 0
Out of Sample: 0
0-roll forecast:
sigma series
373
374
375
376
377
其中372就是03年12月的数据
下图是预测结果趋势图
(a)利用对数收益率和5%的显著性水平检验对数收益率中的相关性。
观察对数收益率的ACF图形
可以发现明显的一阶相关性。
取12阶滞后的Ljung&Box检验的结果如下
Box-Ljung test
data: mrk
X-squared = , df = 12, p-value =
发现有显著的自相关性。
尝试对序列建立ARMA(1,0)模型
arima(x = mrk, order = c(1, 0, 0)