文档介绍：方阵与其伴随矩阵的关系
数学科学学院数学与应用数学专业 2009级汉班
指导教师吴香花
摘要本文给出了阶方阵的伴随矩阵的定义,讨论了阶方阵与其伴随矩阵之间的关系,例如与之间的关系,并且给出了相应的证明过程.
关键词矩阵、伴随矩阵、关系、证明
在高等代数课程中我们学****了矩阵,伴随矩阵。它们之间有很好的联系,对我们以后的学****中有很大的用处。
.
设阶方阵
.令,.
.
==.当可逆时,有,即[1].
证明:
因为
所以===.
当是可逆矩阵时, ,所以由上式得
==
即
.
证毕.
=.(显然)
若可逆,则=.(显然)
设为阶方阵,则[2].
,满足,则.
证明:
因为,,,方程只有零解,从而,进而;
若,则方程组的基础解系中含个向量,于是,因此有.
证毕.
.
⑴当时, ,所以.
⑵当时,,==.由引理1知,+.因为则,. ,从
而.
⑶当时,可逆,由1知,.
证毕.
.
当可逆时,.
所以.
当不可逆时,,.
当时
,.
,,.则
当时,,即,,则.
证毕.
当可逆时,若为的特征值,,的特征值为零,并是重的.
引理2. 设可逆,若为的特征值,则是的特征值.
证明:
若,则由得到,于是,这与可逆矛盾,所以.
同时由还有
.
因此,即是的特征值.
引理证毕.
.

.,这说明是的特征值.
由引理2知, ,所以,即是的特征值.
若,(即)时,,所以的特征值且是重的.
若为可逆矩阵,则也是可逆矩阵.
证明:.
若为对称矩阵,则也是对称矩阵.
.
证明:
当,均可逆时, ,,所以
.
当,不都可逆时,则当足够大时,存在使得, 均可逆,此时有,这是关于的恒等式,即取零时,该等式也成立,即.
证毕.
若为正交矩阵,则也是正交矩阵.
证明:
若为正交矩阵,则且,,所以也是正交矩阵.
证毕.
,其中是阶方阵.
证明:因为,所以
当时,.则

当时,.
当时,,故.
当时,令,则,
.
证毕.
通过以上的证明,说明了阶矩阵与其伴随矩阵有很多联系和继承性,理解和掌握这些联系和继承性对我们以后高等代数课程的学****有着重要的意义.
参考文献
[1]