文档介绍：数形结合思想在中学数学中的应用
摘要:数形结合方法是高中数学中的常见和一个很有效的方法,这种解题方法使用适当可以事半功倍,而且可以培养学生的思维能力,是学生综合使用所学的知识,这种类型的题目在历年高考试题中经常出现,那么如何在平时有针对性的培养学生这方面的能力是一个很有意义的问题,对这方面的探讨也有很多的实际意义。笔者就近几年的高中数学教学结合近几年的高考对这种数学思想方法的应用作一些分析,仅供各位同仁参考:
关键词:数形结合、教学渗透、引导运用、提升能力
一、数形结合思想方法在高中数学中具有怎样的地位和意义
1、数学思维能力是学生分析数学问题和解决数学问题的重要基础,而数形结合是数学解题中常用的思想方法,使用数形结合的方法,可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化,很多问题能迎刃而解,且解法简捷。所谓数形结合,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数,以数解形”,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质,它是数学的规律性与灵活性的有机结合。
2、实现数形结合,常与以下内容有关:①实数与数轴上的点的对应关系;②函数与图像的对应关系;③曲线与方程的对应关系;
④以几何元素和几何条件为背景,建立起来的概念,如复数、三角函数等;⑤所给的等式或代数式的结构有明显的几何意义。如等式:x2+y2=1表示一个单位圆。
3、纵观多年来的高考试题,巧妙运用数形结构的思想方法解决一些抽象的问题,可以起到事半功倍的效果,数形结合的重点是研究“以形助数”。
4、数形结合的思想方法应用广泛,常见的如在解方程和解不等式问题中,在求函数的值域,最值问题中,在求复数和三角函数问题中,运用数形结合思想,不仅直观易发现解题途径,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越,要注意培养这种思想意识,要争取胸中有图,见数想图,以开拓自己的思维视野。
二、高考对于数形结合这一数学思想是如何考查的
函数的图像是函数的一种直观表示形式,它从“形”的方面刻画了函数变量之间的对应关系;通过观察函数的图像,可以形象而直观地了解到函数的有关性质和变化规律;借助函数的图像,既有助于记忆函数的有关性质和变化规律,又有助于研究函数的性质,以及利用数形结合的方法去解决某些问题;高考中有关函数的图像主要考查基本初等函数及简单的三次函数的图像。利用函数图像,可以很方便地研究函数的几何性质,如单调性,周期性,奇偶性,最值,零点,值域及定义域,对称性等。以下是一些和考点与典型例题,作简要分析,有助于我们在教学中把握教学的深浅度。
考点一:集合
例1:(2010年高考辽宁卷理1)已知A,B均为集合U={1,3,7,9}的子集,且A∩B={3},CUB∩A={9},则A=( )
(A){1,3} (B){3,7,9} (C){3,5,9} (D){3,9}
解析:因为A∩B={3},所以3∈A,又因为CUB∩A={9},所以9∈A,故选D。本题也可以用Venn图的方法来解,如下图:
由图易知A={3,9}。
考点二:利用三角函数图像求方程的根的个数
例2:方程sin2x=sinx在区间(0,2)内解的个数是 3 。
分析:在同一平面坐标系内分别画出y=sin2x和y=sinx(0,2)内的图像,观察交点的个数就得到解的个数。
解析:由图可知,在区间(0,2)内y=sin2x和y=sinx图像有3个交点,即方程在区间(0,2)内有3个解。
考点三:考查函数的图像
例3:(2010年山东省高考题11)函数y=2x-x2 的大致图像是( )
解析:由于2x-x2=0在x<0时有一解;在x>0时有两解,分别为x=2和x=4。因此函数y=2x-x2有三个零点,故应排除B、D,又当x→-∞时,2x→0,而x2→+∞,故y=2x-x2→-∞,因此排除D,故选A。
本题以函数的图像为载体考查指数函数y=2x和二次函数y=x2的图像及性质,考查了函数的零点知识以及抽象概括能力和应用意识。求解本题的关键是能判断出在x>0时,y=2x和y=x2有两个交点。
考点四:利用图像解分段函数及不等式综合题
例4:(2010年高考江苏卷11)已知函数,则满足不等式的x的范围是__ ___。
解析:方法一:分类讨论
当x=-1时,无解。
当-1<x≤0时,1->0,化为(1-)+1>1,恒成立。
当0<x≤1时,1-0,2x>0,化为(1-)
+1>(2x) +1,
即1->2x,(x+1)<2,所以0<x<-1。
当1-<0时,无解。
综上知-1<x<-1。即(-1,-1)。
方法二:数形结合