文档介绍：数形结合在初等数学解题中的应用
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引言:数形结合是中学数学中重要的思想方法之一,是数学的本质特征。华罗庚先生曾指出:数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔裂分家万事非。就代数本身而言,缺乏直观性,就几何本身而言,缺乏严密性。只有将二者有机地结合起来,互相取长补短,才能突破思维的限制,加快数学的发展。法国数学家拉格朗日所指出的“只要代数同几何分道扬镶,它们的进展就缓慢,它们的应用就狭窄,但是当两门科学结合成伴侣时,它们就相互吸取新鲜的活力,从那以后,就以快速的步伐走向完善”。在解决数学问题时,将抽象的数学语言同直观的图形相结合,实现抽象的概念与具体形象的联系和转化,使数与形的信息相互渗透,可以开拓我们的解题思路,使许多数学问题简单化。
一、利用数形结合思想解代数问题
借助图形直观地研究数学问题,不仅可以加深对数量关系的理解,而且还可以简化运算过程。
(一)利用数形结合思想解决方程问题
利用函数y=f(x)的图象直观解决问题。
例1:a为何值时,方程的两根在(-1,1)之内?
图1
分析:显然≠0,我们可从已知方程联想到相应的二次函数
的草图,从图像上我们可以看出,要使抛物线与x轴的两个交点在(-1,1)之间,必须满足条件:
f(-1)>0 即
f(1)>0
从而可解得a的取值范围为a≥或a≤且a≠±1.
例2:如果方程的两个实根在方程的两实根之间,试求a与k应满足的关系式.
图2
分析:,形状相同且有公共对称轴的抛物线(如图2).要使方程的两实根在方程的两实根之间,则对应的函数图像与x轴的交点应在函数图像与x轴的交点之内,: .: .
通过构造函数,把求方程解的问题,转化为两函数图像的交点问题.
例3:解方程.
图3
分析:由方程两边的表达式我们可以联想起函数与y=2-x,作出这两个函数的图像,这两个函数图像交点的横坐标为方程的近似解,可以看出方程的近似解为x≈.
(二)利用数形结合思想解决不等式的证明和求解问题
求一元二次不等式的解集时,只要联想对应的二次函数的图像,确定抛物线的开口方向和与x轴的交点情况,便可直观地看出所求不等式的解集.
例4:解不等式.
图4
分析:我们可先联想对应的二次函数的图像(见图4).从解得,知该抛物线与x轴交点横坐标为-2,3,当x取交点两侧的值时,即x<-2或x>3时,y>:{x|x<-2或x>3}.
通过构造函数,:
例5:解不等式|cosx|>|sinx|,x∈[0,2π].
图5
分析:不等式两边的表达式我们可以看成两个函数=|cosx|, =|sinx|.在[0,2π]上作出它们的图像(图5),得到四个不同的交点,横坐标分别为: , , , ,而当x在区间[0, ),( , ),( ,2π]内时, =|cosx|的图像都在=|sinx|:{0≤x< 或<x< 或<x≤2π}.
在教材中利用单位圆的有向线段表示角的正弦线,余弦线,正切线,,应用它解决三角不等式问题,简便易行.
例6:解不等式sinx> .
图6
分析:,使OP= 恰好表示角x的正弦线sinx= ,过点P作x轴的平行线交单位圆于点
, (如图6),在[]内, 分别对应于角,(这时所对应的正弦值恰好为).而要求sinx> 的解集,只需将弦向上平移,使重合(也即点P向上平移至与单位圆交点处).:{x|2kπ- <x<2kπ+ ,k∈Z.}
对于有些不等式证明,可造图形,使之与三角形的三边相联系,利用三角形的二边之和大于第三边来证。
例7:已知,均为实数,求证:
O
y
x
图7
证明:如图(7)由确定点()和()
则||=
||+||=
在△中∵||≤||+||
∴
例8:已知x,y,z