文档介绍：例谈数形结合思想在中学数学中的应用
摘要:数形结合,常常能为合理解决有关问题提供一条简便的思路,它有助于探求问题途径、避繁就简、巧妙地得出结论,是提高问题解决能力的一个重要手段。本文通过数形结合思想直观、简捷地解决了中学数学中的某些问题。
Abstract: bination of number and shape, often to solve issues related with a simple idea, and it helps to explore the pathway, avoid numerous brief, skillfully draw the conclusion, is to improve the ability to solve problems is an important means of. This article through the number shape union thought intuitive, simple to solve some problems in middle school mathematics.
关键词: 数形结合; 解题; 应用
数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来,使抽象思维和形象思维有机地结合。在数学中,数形结合思想可化抽象为直观,便于学生理解和掌握相关的数学内容,因而其应用较为广泛。下面,本文就几类典型的问题分别探讨如下:
1、数形结合在不等式中的运用
(1)解不等式
解不等式在中学数学中是较常见的题型,但是对于有些不等式(如:含有根式、绝对值等式子的不等式)如果用一般解不等式的方法,在求解时,经常要进行繁杂的分类讨论,这样不但易出错,而且浪费时间。而数形结合的方法巧妙的避开了这一繁杂的过程,直观、简洁的解决了此类复杂的不等式问题,为解不等式提供了一条新途径。如下例
例1 解不等式>
分析:对于不等式>我们考虑如果用一般的代数方法,那么必
须要对分情况考虑,并兼顾使有意义的的取值范围,而且在解题过程中还要对原不等式两边进行平方。显然如此是繁杂易出错的,但是如果考虑构建两个函数与,然后利用函数的图像,通过观察在同一坐标系下两函数的图像即可的出答案。
解:设,,从而在同一直角坐标系下,可作出的图形(如图1)
由图可知,要>
须≤<
即不等式>的解集为
{≤<}
图1
(2)证明不等式
中学数学中不等式的证明是一个难点。对于较简单的不等式的证明,利用两个重要的不等式及其推导公式即可证明。但对于有些较复杂的不等式,如不等式≥,
,两个重要的不等式就显的无能为力了,而且如果我们考虑用其他的代数方法,显得无处入手,那么我们观察不等式的结构,不难发现每个根式都与平面上点的距离的公式相似。那么我们就很自然的想到利用平面直角坐标系上任意两点的距离来证明该不等式。下面本文就用这种方法来证明该不等式。
例2 已知
求证:≥
证明:如图2,建立直角坐标系,设A(1,0),B(1,1),C(0,1);P为正方形ABCO内任一点,则,且
|PO|=
|PA|=
|PB|=
|PC|=
根据“三角形的两边之和大于第三边”,有:
|PO|+|PB|≥|OB|
|PA|+|PC|≥|AC|
所以,|PO|