文档介绍：数学观与高中数学教学
仝素勤
2002年7月
一.“数学是什么?”
“数学是什么?”是数学观的核心问题,它包括数学的研究对象、数学的本质特性、数学的真理性以及数学的价值等等。它是人们对数学科学认识的基本观点和总的看法。
本部分的目的:掌握数学观的基本观点,为数学教育教学打下理论基础。
“有一种观点严重威胁着科学的生命:数学是一门不知所云的学科,它只是从定义和公理出发推导出来的一系列结论,而这些公理除了必须互相一致以外,完全出自数学家心灵的自由创造。如果这种说法正确的话,那么数学就不可能吸引任何一个有智慧的人。它将是定义法则和三段论的游戏,既无动力也无目的。”
—(美)柯朗·罗宾斯《数学是什么?》
(一)数学是关于客观世界的数量关系与空间形式的知识体系。知识性。
。“纯数学的对象是现实世界的数量关系与空间形式”
(1)凡是研究事物的量、量的关系、量的变化、量的关系的变化、量的变化的关系的时候,就少不了数学。
事物的量
数量关系:数的概念—数系(实数、复数)—代数系统(群、环、域)—超限数(有限、无限)
空间形式:形的概念(点、线、面、体)—欧氏几何及空间(长度、面积、体积计算)—摄影几何及空间(图形的透视性质)—拓扑学及空间(图形连续性);空间维数,2、3维—n维—无穷维;平直—弯曲。
(2)早期:以研究数量、数量关系为主要特征的是属算术与代数范畴;以研究空间形式和形的关系为主要特征的属几何学范畴;以研究(17世纪)数与形结合的,产生了解析几何与微积分—分析学(形、数关系)。
(3)最初来自外部经验世界(现实世界)—数学内部逻辑定义的各种空间形式及数量关系,而且是反复作用的结果。
。就数学与现实生活的联系来说,大致分为两大类—纯粹数学与应用数学。
●纯粹数学:研究从客观世界中抽象出来的数学规律的内在联系,即研究数学本身的规律的科学。如集合类、代数类及分析类的各门学科。
●应用数学:研究如何从现实问题中抽象出数学规律及如何把已知的数学规律应用于现实问题的科学。如数理方程、运筹学、概率论、数理统计、计算数学、计算机科学以及新兴的:控制论、信息论、系统论、生物数学、数学地质学、数量经济学、定量社会学等。
:是指数学理论是否正确反映了客观实在的规律性。
(1)数学理论是逻辑的发展起来的,在逻辑上是正确的,称为逻辑真理。
(2)数学理论靠实践检验,当验证了它是客观世界的正确反映时,成为现实真理。
(3)检验不一定是直接的数学应用,大量的是间接的、由其他科学或领域检验的。
(4)检验要经历时间或过程。
如:公元前三世纪阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》,在1800年后,才在光学抛物镜研究和天体运动理论中得到具体应用;黎曼几何(非欧)在爱因斯坦的广义相对论中得到应用。
。公理化体系或由概念、判断、推理形成的演绎体系。
(二)数学是人类社会实践活动的结晶,是推动社会发展的动力之一。
一般说来,大部分数学分支中那些最初最老的问题,都是起源于经验,是由外部世界所提出。算术与初等代数、欧氏几何学都起源于生产和生活实践,就连人们认为的高等数学最初也从实践中产生。
:力学(物体、落体、抛射体)、天文学(天体运动)以及几何学中提出的问题。
(1)求运动物体的瞬时速度和加速度及求物体移动的距离。
(2)求曲线的切线。
(3)求函数的最大值和最小值。
(4)求曲线的长度、由曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心等。
:对现实世界中大量随机现象的研究。
(1)早期的概率论是与赌博的数学研究有关。1654年,有一个赌徒梅累向当时的数学家帕斯卡提出一个问题:“两个赌徒相约赌若干局,谁先赢m局就算胜,全部赌本就归胜者。但是,当其中一人赢了a(a<m)局,另一个赢了b(b<m)局的时候,赌搏中止。问:赌本应当如何分法才合理?”
3年后,著名的物理学、天文学兼数学家惠更斯,用排列组合的方法,研究了这个及一些更复杂的赌搏问题,写成了《论机会游戏的计算》一书,这是最早的概率论著作。
(2)机遇搏弈问题(帕斯卡、费马等人)。
(3)保险事业的需要。等等。
。
中国古代的数学包括算术和代数,主要是为解决生产和生活实践中提出问题而产生的。最著名的《九章算术》(公元一世纪左右)包括246道数学问题,按问题性质分属九章:方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股,各章按解题法则又分为若干类,解题法则叫做“术”。各章含义如下:
方田:专讲各种形状地亩面积计算和有理数四则运算;
粟米:专讲各种谷物之间的兑换问题,主要涉及比例运算;
衰分:多与商业、手工业及社