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第九届“华为杯”
全国研究生数学建模竞赛
学校
山东-青岛科技大学
参赛队号
队员姓名
第九届“华为杯”全国研究生数学建模竞赛

题目有杆抽油系统的数学建模及诊断
摘要:
本文主要研究有杆抽油系统的数学建模及诊断问题。
针对问题一,本文从有杆抽油系统四连杆结构的几何关系和运动特点出发,首先建立了游梁的摆动方程,进而求得了悬点E运动的数学模型(式(19)),并根据题给数据对模型进行了求解并得到了运动规律曲线(如图3),最后与有荷载的附件1的悬点位移数据进行了比较(见表1)。
针对问题二,首先利用分离变量法将Gibbs波动方程拆分为位移函数和荷载函数,并对其进行傅里叶级数展开,得出了悬点处随时间变化的位移和荷载函数,求得了泵随时间变化的位移和荷载函数,进而计算出两口油井的泵功图数据(表3、表4),绘制出了两油井的悬点示功图和泵功图(图5、图6)。
针对问题三,本文选择对第2问(泵内气体判断)进行研究。首先对泵内气体影响情况进行了分析,然后给出了有效冲程的计算方法,在此基础上提出了泵内是否充气的判别算法,并根据所给数据求解判断出口井1泵内有气,口井7泵内无气。
针对问题四,第一问中,首先分析了Gibbs波动方程建立的过程,认为Gibbs模型忽略了重力的影响,在Gibbs模型的基础上加入了重力因素加以改进,得到了相应的位移和荷载函数(式71、式72)。第二问中,通过抽油杆柱的摩擦功率得到了阻尼系数的求解公式,并给出了迭代求解阻尼系数的算法和迭代流程图(图9)。
本问题的研究对提高抽油机泵效和产油量有重要的意义。
关键词:Gibbss模型,阻尼系数,傅里叶系数,有效冲程

目前,开采原油广泛使用的是有杆抽油系统(垂直井,如图1)。电机旋转运动转化为抽油杆上下往返周期运动,带动设置在杆下端的泵的两个阀的相继开闭,从而将地下上千米深处蕴藏的原油抽到地面上来。通过悬点示功图可以初步诊断该井的工作状况,如产量、气体影响、阀门漏液、沙堵等等。要精确诊断油井的工作状况,最好采用泵功图。然而,泵在地下深处,使用仪器测试其示功数据实现困难大、成本高。因此,通过数学建模,把悬点示功图转化为杆上任意点的示功图(统称为地下示功图)并最终确定泵功图,以准确诊断该井的工作状况,是一个很有价值的实际问题。
请解决以下问题:
问题一:光杆悬点运动规律
电机旋转运动通过四连杆机构转变为抽油杆的垂直运动。假设驴头外轮廓线为部分圆弧、电机匀速运动,悬点下只挂光杆(光杆下不接其它杆,不抽油,通常用来调试设备)。请按附录4给出四连杆各段尺寸,利用附件1的参数,求出悬点E的一个冲程的运动规律:位移函数、速度函数、加速度函数。并与有荷载的附件1的悬点位移数据进行比较。
问题二:泵功图计算
请使用Gibbs模型,给出由悬点示功图转化为泵功图的详细计算过程,包括:原始数据的处理、边界条件、初始条件、求解算法;附件1是只有一级杆的某油井参数和悬点示功数据,附件2是有三级杆的另一油井参数和悬点示功数据,利用它们分别计算出这两口油井的泵功图数据;并分别绘制出两油井的悬点示功图和泵功图(每口井绘一张图,同一井的悬点示功图与泵功图绘在同一张图上,请标明坐标数据)。
问题三:泵功图的应用(下面2小问选作一问。鼓励全做)
1)建立2个不同的由泵功图估计油井产量的模型,其中至少一个要利用“有效冲程”;并利用附件1和附件2的数据分别估算两口油井一天(24小时)的产液量。(单位:吨,这里所指的液体是指从井里抽出来的混合液体)
2)如图5(C)形式的泵功图表示泵内有气体,导致泵没充满。请建立模型或算法,以由计算机自动判别某泵功图数据是否属于泵内有气体的情况。并对附件1、附件2对应的泵功图进行计算机诊断是否属于泵内充气这种情况。
问题四:深入研究的问题(下面2小问选作一问。鼓励全做)
1)请对Gibbs模型进行原理分析,发现它的不足。在合理的假设下,重新建立抽油系统模型或对现有模型进行改进;并给出由悬点示功图转化为泵功图的详细计算过程,包括:原始数据的处理、边界条件、初始条件、求解算法;利用附件1、附件2的数据重新进行计算;对计算结果与问题二的计算结果进行比较,分析你的模型的优缺点。
2)Gibbs模型在数学上可简化为“波动方程”: 其中a为已知常数,c称为阻尼系数,鉴于大多数的阻尼系数公式[1][2]是作了诸多假设后推出的,并不能完整地反应实际情况。如果能从方程本身和某些数据出发用数学方法估计参数c,贡献是很大的。对此,请你进行研究,详细给出计算c的理论推导过程并尽可能求出c。如果需要题目之外的数据,请用字母表示之并给出计算c的推导过程。

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