文档介绍：无穷级数
一、数项级数
二、幂级数
讨论敛散性
求收敛范围,将函数展开为幂级数,求和。
:
给定一个数列
将各项依
即
称上式为无穷级数,
其中第 n 项
叫做级数的一般项,
级数的前 n 项和
称为级数的部分和.
次相加, 简记为
收敛,
则称无穷级数
并称 S 为级数的和。
等比级数(又称几何级数)
( q 称为公比).
级数收敛,
级数发散.
其和为
P-级数
c 是非零常数,则级数
收敛于 S ,则
有相同的敛散性。若
与
收敛于 c S .
性质2. 设有两个收敛级数
则级数
也收敛, 其和为
说明:
(2) 若两级数中一个收敛一个发散, 则
必发散.
但若二级数都发散,
不一定发散.
(1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减.
(用反证法可证)
性质3.
在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数
的敛散性.
性质5:设收敛级数
则必有
可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散.
*:
(比较审敛法)
设
且存在
对一切
有
(1) 若强级数
则弱级数
(2) 若弱级数
则强级数
则有
收敛,
也收敛;
发散,
也发散.
是两个正项级数,
(常数 k > 0 ),
(比较审敛法的极限形式)
则有
两个级数同时收敛或发散;
(2) 当 l = 0
(3) 当 l =∞
设两正项级数
满足
(1) 当 0 < l <∞时,