文档介绍：合同变换二次型标准型莆田学院数学与应用数学系“高等代数选讲”课程论文题目:用矩阵的初等变换化实二次型为标准形姓名:廖丹学号: 莆田学院数学与应用数学系数学与应用数学专业XX级 XX年6月20日用矩阵的初等变换化实二次型为标准形 041数本廖丹摘要:本文介绍两种特殊方法:一种是用正交变换化实二次型为标准形,另一种是连续用第三种初等行变换快速将二次型化为标准形. 关键词:初等变换第三种初等阵非异阵实二次型标准形 ?AX,总可以经过非奇异变换X?PY使得 X?AX??diyi2,其中di为实数,通常的方法是采用配方法或初等变换法,然而传统的方法 i?1n ,能够快速将原二次型化为标准形,一举求出非异阵P. 定义以Tij(k)表示将单位矩阵的j行的k倍加到i行,所得到的第三种初等阵. 定理设A是n阶实对称阵,P是有限个第三种初等阵Tij(k),i??d1 ?PA?? ?0a??d ?其中a是n?1维行向量,A1是n?1阶阵,则必有PAP???A1??00? .?A1? 证明:由于P是Tij(k)的乘积,且i?1,根据矩阵的乘法规则,用P右乘P?A时,P?A的?d1 第一列元素不变,从而P?AP?? ?0 ,即A是实对称的.?A1? ?? ?P?AP亦为实对称阵???0 这个定理实质上就给出矩阵A化标准形,求出变换矩阵P的一种方法,?A,E?找出P?使??d1 ?? ?????dr P??A,E???P?A,P????? ?????????*???????? ?,P??则这个P?的转置阵就是我 0????? ??0??? 们要找的非异阵P,它使P??A,E?作有限次第三种初等变换 Tij(k),i?j,则当把A变换成上三角阵时,?A,E?的E就同时化为P?,且使?d1????dr ?PAP?? ???? ?????. 0??? ?0? ?1?12???例1求非异阵P,使P?AP为对角阵,其中A??1?10.???202??? 解: ?1 ?A,E????? ?2? ?? ????? ?1?12100? ?r2?r1 ?????0?22110?? ?20XX??? 1 r3?(?2)r1 ????? 1 ?1?12100??1?12100? ?0?22110?????0?22110?r3?r2 ????? ?02?2?201??000?111????? ?11?1? ??故由定理知P?011.???001??? ?100???P?AP?0?20???000??? 例2将实二次型2x1x2?6x2x3?2x1x3化为平方和. ?011? ??解:此二次型的系数矩阵A?10?3,A的主对角元素全是0,故不能立即引用???1?30??? 定理,,然后再用定理即可. ???11?2110? ?????10?3010?r1?r2 10?3010??A,E????????1?30001??1?30001????? ?21?2 ?2110??r2?1r1? ?1r3?r??1??????3010????0?2c1?c2??2???2?30001? ???0?2?2 ? 21 10 ?2?r3?4r2?????0 ??0? 1 ?2 0???11 0? 22?3?11?? ? ??1?令X?PY,2? 6?? 1 1 1?1 21 10??1 0?2?11?? ?1 ?2206 ??1? ?P??1 ??0??? ?1? 3? ?22 ??1 ?1?,P?AP???2???01???? 21 则2x1x2?6x2x3?2x1x3?2y ? 12 y2? ?AP成对角阵,这等价于经过正交变换X?PY将二次型X?AX ,但此方法较为复杂,下面介绍用解一些齐次线性方程组的方法来化实二次型为标准形. ?An?n?列初等变换?Bn?nQn?(n?1)? ??????定理设A为n?n阶矩阵,秩?A??r,且?其中??Pn?(n?1)??En??* B是秩为r的列满秩矩阵,则矩阵P所含n?r个列向量就是齐次线性方程组AX?:?秩?A? ?r ?存在可逆的n级矩阵PP12??PS使 APP12??PS??Bn*r,0?,其中Bn*r是秩为r的列满秩矩阵???同理:EnPP12??PS??En*r,En*(n?r)?,其中En*r表示秩为r的每一列有且只有一元素?*(n?r)表示秩为n?r的每一列有且只有一元素为1的列满秩矩阵为