householder和givens变换.ppt

文档介绍：Householder变换O+O则记即:该变换将向量变成了以为法向量的平面的对称向量。Householder变换又称为反射变换或镜像变换,有明显的几何意义。在中,给定一个向量,令表示关于平面(以为法向量)的反射变换所得像,如图所示,定义设是一个单位向量,令则称H是一个Householder矩阵或Householder变换。,则(1)H是Hermite矩阵,;(2)H是酉矩阵,;(3)H是对合矩阵,;(4)H是自逆矩阵(5)diag(I,H)也是一个Householder矩阵;(6)detH=-1。其中为实数。定理设是一个单位向量,则对于任意的当时,取单位向量使存在Householder矩阵H,使得证明当x=0时,任取单位向量则则所以当时,取由于推论1对于任意的,存在Householder矩阵H,使其中为实数。推论2对于任意的,存在Householder矩阵H上述结论表明,可以利用Householder变换将任意向量化为与第一自然基向量平行的向量(共线)。,其中使得得例2用Householder变换将向量化为与平行的向量。因此解由于为了使为实数,取令则也可取或说明*1、Givens矩阵和Givens变换从上图中我们可以看出旋转变换并不改变向量的模,所以它是正交变换,从而T是正交矩阵,且