文档介绍：2011中考数学试题分类汇编(19)三角函数解直角三角形
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知识点:
一、锐角三角函数:在直角三角形ABC中,∠C是直角,如图5-1
1、正弦:把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作
2、余弦:把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作
3、正切:把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作
4、余切:把锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切,记作
说明:由定义可以看出tanA·cotA=l(或写成)
5、锐角三角函数:锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数
说明:锐角三角函数都不能取负值。
0< sinA< l; 0<cosA<;l
6、锐角的正弦和余弦之间的关系任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
即sinA=cos(90°一 A)=cosB;cosA=sin(90°一A)=sinB
7、锐角的正切和余切之间的关系任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
即tanA=cot(90°一 A)=cotB;cotA=tan(90°-A)= tanB
说明:式中的90°一A = B 。
8、三角函数值的变化规律
(1)当角度在0°— 90°间变化时,正弦值(正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)
(2)当角度在0°—90°间变化时,余弦值(余切值)随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。
9、同角三角函数关系公式
(1);(2);(3) tanA=
二、解直角三角形
由直角三角形中,除直角外的已知元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形。
若直角三角形ABC中,∠C=90°,那么A、B、C,a,b,c中除∠C=90°外,其余5个元素之间有关系:
(l);(2)∠A十∠B=90°;
(3);;;
所以,只要知道其中的2个元素(至少有一个是边),就可以求出其余3个未知数。
例如Rt△ABC中,∠C=90°,且∠A=30°,a=5,
则由:
三、应用举例
是实际问题中的解直角三角形,或者说用解直角三角形的方法解决实际问题。
例如一杆AB直立地面,从D点看杆顶A,仰角为60°,从C点看杆顶A,仰角为30°(如图5~2)若CD长为10米,求杆AB的高。
解:设AB=x
即,,
即
,,∴
,应用题中要注意:
(1)仰角,俯角见图5-3
(2)跨度、中柱:如房屋顶人字架跨度为AB,见图5—4
(3)深度、燕尾角
如燕尾槽的深度,见图5—5
(4)坡度、坡角
见图5一6坡度i=7坡度的垂直高度h水平宽度,
例题:
例1、根据下列条件,解直角三角形.
例2、在平地上一点C,测得山顶A的仰角为30°,向山沿直线前进20米到D处,再测得山顶A的仰角为45°,求山高AB.
分析:此题一方面可引导学生复习仰角、俯角的概念,同时,可引导学生加以分析:
如图6-39,根据题意可得AB⊥BC,得∠ABC=90°,△ABD和△ABC都是直角三角形,且C、D、B在同一直线上,由∠ADB=45°,AB=BD,CD=20米,可得BC=20+AB,在Rt△ABC中,∠C=30°,可得AB与BC之间的关系,:在Rt△ABC中和Rt△ABD中,都找不出一条已知边,而题目中的已知条件CD=20米又不会用.
解:略
例题3如图6-40,水库的横截面是梯形,坝顶宽6m,坝高23m,斜坡AB
坝底宽AD().
分析:坡度问题是解直角三角形的一个重要应用,学生在解坡度问题时常遇到以下问题:
;
,学生易出错;
.
(2010哈尔滨)1。在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=35°,AB=7,则BC的长为( ).C
(A) 7sin35° (B) (C)7cos35° (D)7tan35°
(2010红河自治州)13. 计算:+2sin60°=
(2010红河自治州)17.(本小题满分9分)如图5,一架飞机在空中P处探测到某高山山顶D处的俯角为60°,
此后飞机以300米/秒的速度沿平行于地面AB的方向匀速飞行,飞行10秒到山顶D的正上方C处,此时测得飞机距地平面的垂直高度为12千米,求这座山的高()
A
B
12千米
P
C
D
G
60°
图5
解:延长CD交AB于G,则