文档介绍：高考解析几何·万能解题套路
一个套路,解决所有高考解析几何问题!
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第一部分:高考解析几何·万能解题套路
一、导论
在教学中,一直有一个难以解决的悖论:“题海战术”广遭诟病,但似乎要取得好成绩,除了“题海战
术”又别无良策。这是因为,我们每次考试面对的题目都不可能一样,大家心照不宣的想法是——通过平
时的“题海战术”,也许可以穷尽问题的各种可能。
然而,如果我们仔细研究一下西方科学思想,他们的目标也是穷尽问题的各种可能,但他们采用的是
欧几里德在《几何原本》中创立的公理化演绎方法!在其划时代的伟大著作《几何原本》中,欧几里德仅
用了 5 条公理和 5 条推理规则(或者说演绎规则),就将以往大量的、零碎的、彼此之间也看不出多少联系
性的几乎所有几何问题的解都统一了起来!
大量看似没有多少联系性的问题,却能通过高度一致的方法获得解决!欧几里德的发现深深地影响了
后世无数科学家,并让几乎所有学科走上了为所有可能的问题寻找高度一致解决方法的道路!
事实上,欧几里德的发现影响如此巨大,使得公理化演绎方法成为几乎所有学科的通用方法。为了让
学生能真正从题海战术中走出来,我们以解析几何为例,开发出一套与高考解析几何演绎体系相对应的“万
能解题套路”,希望对大家有所启发。
二、解析几何万能解题套路
解析几何是法国数学家笛卡儿(1596 年~1650 年)创立的。在笛卡儿之前,几何(即欧几里德几何)
与代数是数学中两个不同的研究领域,但这两门学科都有着自己的局限性,比如欧几里德几何,虽然它构
建起了严密的演绎体系,但基本只局限于对直线和圆所组成的图形的处理,当面对椭圆、抛物线、双曲线
等新奇图形时,欧几里德几何就开始变得力不从心了。笛卡儿在总结前人经验的基础上,创造性地提出了
一个划时代的设想——把代数的演绎方法引入几何学,用代数方法来解决几何问题。正是在这一设想的指
引下,笛卡儿创建了解析几何的演绎体系。
正如前面所说,演绎体系最大的特点是:大量看似没有多少联系性的问题,在演绎体系下却能通过高
度一致的方法获得解决!而要找到这个高度一致的方法,只须理清两个问题:一、这个演绎体系下的问题
是由什么构成的;二、这个演绎体系的演绎规则是如何构建的。
以高考解析几何为例:
1、问题都是以平面上的点、直线、曲线(如圆、椭圆、抛物线、双曲线)这三大类几何元素为基础构
成的图形的问题;
2、演绎规则就是代数的演绎规则,或者说就是列方程、解方程的规则。当然,能用代数规则处理的问
题必须是代数形式的,比如,平面上的点、直线、曲线构成的图形能用代数方法来处理,前提是构成这些
图形的点、直线、曲线必须是代数形式的。
有了以上两点认识,我们可以毫不犹豫地下这么一个结论,那就是解决高考解析几何问题无外乎做两
项工作:
1、几何问题代数化。
2、用代数规则对代数化后的问题进行处理。
至此,我们可以发掘出一套规整的高考解析几何的统一解题套路:
步骤 1:把题目中的点、直线、曲线这三大类基础几何元素用代数形式表示出来(一化);
步骤 2:把题目中的点与直线、曲线的从属关系用代数形式表示出来(二代);
说明:这里的“从属关系”指的是什么?实际上,在解析几何中,“点”是比直线、曲线更基础的几何
元素——任何几何图形,包括直线和曲线,都被视为是由一个个的“点”构成的(用数学语言来表达:任
何几何图形,包括直线和曲线,都是由点构成的集合)。但为了使我们的解题套路各步骤之间条例更分明,
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我们把点、直线、曲线视为构成任何其它几何图形的基础。所以,这里的“从属关系”是点与直线、曲线
的属于关系问题——如果某个点在某条直线或曲线上,那么这个点的坐标就可代入这条直线或曲线的方程。
步骤 3:图形构成特点的代数化,或者说其它附加条件的代数化(三化)。
说明:在解析几何中,会有一些关于图形构成特点的条件,如图形中某两条直线垂直;图形中某条直
线和某条曲线相切等等,我们把这些条件都归结在步骤 3 中来处理;
步骤 4:按答案的要求解方程组,把结果转化成答案要求的形式(四处理)。
说明:步骤 1、2、3 完成后,会得到一组方程,而答案就是这组方程组的解。
下面,我们把这四个步骤进行标准化。
三、高考解析几何解题套路各步骤操作规则
步骤一:(一化)
口诀:见点化点、见直线化直线、见曲线化曲线。
1、见点化点:“点”用平面坐标系上的坐标表示,只要是题目中提到的