文档介绍：矩阵合同变换目录摘要...............................................................................................................I引言................................................................................................................11矩阵间的三种关系.......................................................................................矩阵的等价关系........................................................................................矩阵的合同关系......................................................................................矩阵的相似关系.......................................................................................22矩阵的等价、合同和相似之间的联系........................................................33矩阵的等价、合同和相似之间的区别.........................................................5结束语............................................................................................................6参考文献.........................................................................................................6 摘要:等价、合同和相似是矩阵中的三种等价关系,、矩阵的对角化问题、求矩阵特征根与特征向量、、,得到二者间彼此的转化. 关键词:矩阵的等价;矩阵的相似;矩阵的合同;等价条件引言: 在高等代数中,讨论了矩阵的三种不同关系,它们分别为矩阵的等价、,性质,相关定理及各自存在的条件,然后给出了这三种矩阵关系间的联系,即相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵,相似为正交相似,合同为正交合同时,,最后给出了他们的区别和不变量. 1矩阵间的三种关系矩阵的等价关系定义1两个s?n矩阵A,B等价的充要条件为:存在可逆的s阶矩阵p与可逆的 n阶矩阵Q,使B?PAQ 由矩阵的等价关系,可以得到矩阵A与B等价必须具备的两个条件:矩阵A与B必为同型矩阵. 存在s阶可逆矩阵p和n阶可逆矩阵Q,使得B?PAQ. 性质1 反身性:即A?A. 对称性:若A?B,则B?A 传递性:即若A?B,B?C,则A?C 定理1若A为m?n矩阵,且r(A)?r,则一定存在可逆矩阵P和?Ir Q,使得PAQ?? ?0 0? ?.?0?m?n 推论1设A、B是两m?n矩阵,则A?B当且仅当r(A)?r(B).矩阵的合同关系定义2设A,B均为数域p上的n阶方阵,若存在数域p上的n阶可逆矩阵 p ,使得PTAP?B,则称矩阵为合同矩阵,由矩阵的合同关系,不难得出矩阵A与B合同必须同时具备的两个条件:(1)矩阵A与B不仅为同型矩阵,而且是方阵.(2)存在数域p上的n阶矩阵p,PTAP?B 性质2 反身性:任意矩阵A都与自身合同. 对称性:如果B与A合同,那么A也与B合同. 传递性:如果B与A合同,C又与B合同,那么C与A合同. 因此矩阵的合同关系也是等价关系,而且由定义可以直接推得:合同矩阵的秩等. 定理2数域F上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同. 定理3复数域上秩为r的二次型,可以用适当的满秩线性变换化为标准形: 22 f?y12?y2??y