文档介绍：矩阵的合同变换摘要:矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中,基本交换。在《高等代数》里,我们仅讨论简单而直接的变换,而矩阵的合同变换与矩阵相似变换,二次型等有着诸多相同性质和联系。关键词:矩阵秩合同对角化定义1:如果矩阵A可以经过一系列初等变换变成B,则积A与B等价,记为定义2:设A,B都是数域F上的n阶方阵,如果存在数域F上的n阶段可逆矩阵P使得,则称A和B相似定义3:设A,B都是数域F上的n阶矩阵,如果存在数域F上的一个n阶可逆矩阵P,使得那么就说,在数域F上B与A合同。以上三个定义,都具有自反性、传逆性、对称性、性。定理1:合同变换与相似变换都是等价变换证明:仅证合同变换,相似变换完全相似因为P可逆,所以P存在一系列初等矩阵的乘积,即。此时边为一系列初等矩阵的乘积若则B由A经过一系列初等变换得到。所以,从而知合同变换是等价变换。定理2:合同变换与相似变换,不改变矩阵的秩证明:由知,合同变换与相似变换都是等价变换,所以不改变秩定理3:相似矩阵有相同特征多项式证明:共又因为为对称矩阵所以注①合同不一定有相同特征多项式定理4:如果A与B都是n阶实对称矩阵,且有相同特征根,则A与B相似且合同论:设A,B为特征根均为,因为A与B实对称矩阵,所以则在n阶正矩阵,使得从而有由从而有从而又由于为正交矩阵所以且定时5:两合同矩阵,若即,若A为对称矩阵,则B为对称阵,而两相似矩阵则不一定有些性质证明:即,若对称阵,则所以B边为对称阵[注]:相似矩阵对此结论不具有一般性,它在什么情况下成立呢?引理6:对称矩阵相似于对角阵A的每一个特征根有秩,:任给对称的n阶矩阵A一个特征根,以其重数以秩,则,线性无关的解向量个数为个,即5个又因属不同特征根的特征向量线性无关n阶对称阵A有n个线性无关的特征向量n阶对称阵可对角化从定理5,引理6中我们发现了合同在应用中的侧重点,如对二次型应用例求一非线性替换,把二次型二次型矩阵为对A相同列与行初等变换,对矩阵E,施行列初等变换可把二次型化为标准型解法(2)此时此时非线性退化替换为发现在注[1]:任意对称阵合同的对角阵及其变换阵不是唯一确定的特性1:在合同变换中具有变换和结果的多样性[注]:在对角阵上元素相等及其它元素元素边相等情况下又有哪些性质呢?:对二次型矩阵为标准形,则[注]当P改变两行的位置交换后,发现定理2:在A为对角线上元素相等,其余元素也相等,则若有,则调整P的任意两行,对角阵形式不变。证明:设初等变换的对调变换矩阵为J,显然于是有而P与JP相比仅是行的排列顺序不同,因此任意调整P的行,所得对角阵相同。[注]以上为特殊条件下成立,如果在一般情况下呢?:设对称矩阵,B为对角矩阵,若要调换B对角线上任意两个元素的位置得到,则只要调控B中对左的两列,可得到P,使得,即P的列与B中元素的对应性。文档来自于网络搜索证明:初等调换矩阵为J,显然与相比,只是列的排列顺序发生了改变的列与B的对角线上元素具有对应性自己写例定理8:如果对角线上的元素分别扩大得,则不要将P中对应的对应角线元素扩大,即可得到使得证明:设初等变换的倍乘变换矩阵为(对角线上第J个元素)形,则有中第J个元素为B的倍而,且其中对角线J个元素是P中对角线元素CJ倍。例:已知对称矩