文档介绍：【2013·江苏南京·27题】对于两个相似三角形,如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同,那么称这两个三角形互为顺相似;如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反,那么称这两个三角形互为逆相似。例如,如图①,△ABC∽△A’B’C’,且沿周界ABCA与A’B’C’A’环绕的方向相同,因此△ABC与△A’B’C’互为顺相似;如图②,△ABC∽△A’B’C’,且沿周界ABCA与A’B’C’A’环绕的方向相反,因此△ABC与△A’B’C’互为逆相似。
(1)根据图I、图II和图III满足的条件,可得到下列三对相似三角形:①△ADE与△ABC;②△GHO与△KFO;③△NQP与△NMQ。其中,互为顺相似的是;互为逆相似的是(填写所有符合要求的序号)
(2)如图③,在锐角△ABC中,∠A<∠B<∠C,点P在△ABC的边上(不与点A、B、C重合)。过点P画直线截△ABC,使截得的一个三角形与△ABC逆相似。请根据点P的不同位置,探索过点P的截线的情形,画出图形并说明截线满足的条件,不必说明理由。
解:(1)根据定义,结合图形和条件可知,互为顺相似的是①②;互为逆相似的是③。
(2)由题意,分以下三种情况:
第一种情况:当P在BC边上时,过点P能画出两条截线PQ1、PQ2,使∠CPQ1=∠A,∠BPQ2=∠A,此时,△PQ1C、△PBQ2均与△ABC互为逆相似。
第二种情况:当P在AC边上时,作∠CBM=∠A,BM交AC于M。
当点P位于AM上(不含M)时,过点P1能画出一条截线P1Q1,使∠AP1Q1=∠ABC,此时,△AP1Q1与△ABC互为逆相似。
当点P位于CM上时,过点P2能画出两条截线P2Q2、P2Q3,使∠CP2Q2=∠CBA,∠AP2Q3=∠CBA,此时,△CP2Q2、△AP2Q3均与△ABC互为逆相似。
第三种情况:当P在AB边上时,作∠BCD=∠A,CD交AB于D,作∠ACE=∠B,CE交AB于E。
当P在AD上(不含D)时,过点P1能画出一条截线P1Q1,使∠AP1Q1=∠ACB,此时,△AQ1P1与△ABC互为逆相似。
当P在DE上时,过点P2能画出两条截线P2Q2、P2Q3,使∠AP2Q2=∠ACB,∠BP2Q3=∠ACB,此时,△AQ2P2、△Q3BP2均与△ABC互为逆相似。
当P在BE上(不含E)时,过点P3能画出一条截线P3Q4,使∠BP3Q4=∠ACB,此时,△Q4BP3与△ABC互为逆相似。
【2013·江苏苏州·29题】如图,已知抛物线y=x2+bx+c(b、c是常数,且c<0)与x轴分别交于点A、B(点A位于点B的左侧),与y轴的负半轴相交于点C,点A的坐标为(-1,0)。
(1)b= ,点B的横坐标为(上述结果均用含c的代数式表示);
(2)连接BC,过点A作直线AE∥BC,与抛物线y=x2+bx+c交于点E。点D是x轴上一点,其坐标为(2,0)。当C、D、E三点在同一直线上时,求抛物线的解析式;
(3)在(2)的条件下,点P是x轴下方的抛物线上的一动点,连接PB、PC,设所得△PBC的面积为S。①求S的取值范围;②若△PBC的面积S为整数,则这样的△PBC共有个。
解:(1)∵点A(-1,0)在抛物线上
∴-b+c=0,得b=+c
由y=x2+bx+c=0得,xA·xB=2c
∴点B的横坐标为xB=-2c
(2)∵当x=0时,y=c ∴点C(0,c)
令AE交y轴于点F
∵AF∥BC ∴
∵OA=1,OC=-c,OB=-2c
∴OF=,即点F(0,)
则直线AE的解析式为y=x+
由x2+bx+c =x+及b=+c得
x2+2cx+2c-1=0,则xA·xE=2c-1
∴xE=1-2c,yE=xE+=1-c
设直线CD的解析式为y=mx+n,则
解得m=-c,n=c
∴直线CD的解析式为y=-cx+c
∵点E在直线CD上
∴1-c=-c(1-2c)+c,即2c2+3c-2=0
解得c=-2或(舍去)
∴抛物线的解析式为y=x2-x-2
(3)由(2)得,B(4,0),C(0,-2)
则直线BC的解析式为y=x-2
①当点P在x轴下方、BC上方时
∵S△ABC=AB·OC=·5·2=5
∴0<S<5
当点P在x轴下方、BC下方时,过点P作y轴的平行线交BC于Q,交x轴于H。
设P(m,m2-m-2),则Q(m,m-2)
∴PQ=m-2-m2+m+2=-m2+2m
∴S=PQ·OB=-m2+4m=-(m-2)2+4
∵0<m<4
∴当m=2时,S有最大值4
∴0<S≤4
故,S的取值范围为0<S<5
②结合图象可知,当0<S<4,且S为整数(即1、2、3)时,这样的△PBC有3×3=9个;当S=4,这样的