文档介绍：专升本《高等数学》复习指导(上):
夯实基础、树立信心、迎接挑战
人们一提到数学,尤其是高等数学就会产生为难情绪。究其原因,一是历史上大众的认知对我们的潜在影响;二是自己没有细心研究数学的特点。其实,可以笼统地说:数学就是一种认识世界、描述事物的语言而已。不过,它有着自己的符号以区别于其它语言。因此,要学好数学,首先认识数学符号,领会其内在含义。也就是说,要打好基础!本文以专升本高等数学《考试大纲》为依据,从认识论的角度出发,通过例题的讲解,说明熟练掌握:基本知识、基本原理、及基本技巧的重要性。从而达到让我们夯实基础,树立信心的目的,进而在考试中取得好成绩。以下按相应章节论述。
极限和连续
(一)表达式: 的含义。该表达式是指对于函数 f (x),如果当 x 无限地趋近于时,函数 f (x)的值无限地趋近于一个常数A,则称A为函数 f (x)当 x→时的极限。
其中,最基本的几个结论是:等基本初等函数的极限在它们的定义域内就等于它们的定义值。下面的例子给出准确地把握定义和使用技巧之间的关系:
由于该极限是“0/0”型未定式,故极限的商的运算法则不适用,此时要想法消去零因子
,观察发现可以分解出零因子,由于当时,函数与具有相同的函数值,从而当时,函数与的具有相同的变化趋势,这样就把求函数的极限转化为求函数的极限,把未知问题转化为了已知问题,问题最终得到了解决。又如我们已知重要极限
(若在自变量的某个变化过程中,则例如,
),利用这个结论求如下极限:,为了使表达式中出现正弦函数,此时我们想到余弦函数的倍角公式:,此为解决该问题的技巧。整个求解过程如下:。
(二)表达式:的含义。对于函数 f (x),如果当 x→+∞时, f (x)的函数值无限趋近于常数A,则称A为函数 f (x) 当 x →+∞时的极限。其中,最基本的几个结论是:(若在自变量的某个变化过程中,则,例如,).利用这几个结论求如下几个极限:(1)在该问题的求解过程中,我们注意到函数的表达式中
,为了利用重要极限II,我们将表达式的指数凑出,这样就在指数的表达式中分母除以,分子再乘以,然后利用极限的运算法则:,就得到相应的结果。(2)
该题是所谓的“”型未定式,由于已知,那么函数表达式的分子、分母同除以它们多项式的最高阶幂项,利用这一结论,就可以使用极限的运算法则了。(3)这一问题的求解思路同(2)。
(三)注解:(1)在利用罗比达法则求时,要严格检验在自变量的变化过程中:或。如求极限,我们看到当时,分子、分母的极限都是0,属于“0/0”型未定式,但又无零因子可消,从而考虑使用罗比达法则求解,求解过程如下:;又如求极限,我们看到当时,分子、分母的极限都是,属于“”型未定式,从而考虑使用罗比达法则求解,求解过程如下:
=
=。要注意的是:①求导数是对分子、分母分别求导,而不是对整个分式求导;②罗比达法则可以反复使用,只要应用一次罗比达法则后,分式仍是“0/0”型未定式或“”型未定式。如求极限。(2)如果在自变量的变化过程中:,那么求极限时,要先通分化简或根式有理化等。如。(3)如果在自变量的变化过程中:,如果求极限,则要把它化为“0/0”型,或“”型,即化为:或,然后再选择适当的方法求解。如是“”型未定式,其求解过程如下:。又如也是“”型未定式,其求解过程如下:。应该说明的是,将“”型未定式化为“0/0”型,或“”
型时,无必然的规律可言,但一个基本原则是变形后,在用罗比达法则时,使其分子、分母的导数简单,或是分子、分母求导后能够进行化简。(4)利用等价无穷小量代换求极限,可以使求解过程变得简单。如。在求解的第一步是利用了当时,,而做的等价无穷小量代换,随后两步是利用了罗比达法则。(要熟练掌握无穷小量、等价无穷小量的概念,注意常用的等价无穷小量代换有:当时,,,)。(5)若,则,从而把求数列的极限化为函数的极限。
(四)表达式:的含义。设函数 f (x) 在点的某个邻域内有定义,如果当自变量时,对应函数的函数值趋近于常数,即函数的极限存在,且等于函数的函数值,即,那末称函数 f (x)在处连续,称为函数的连续点。连续的三个要素:f (x) 在点处有定义、有极限、极限值等于函数值。如果函数在点处不满足连续的三个要素之一,则称为函数的间断点。在判断分段函数在分段点处是否连续时,我们通常利用定理:函数 f (x) 在点处连续的充要条件是:函数 f (x) 在点处既左连续又右连续。例如设在点处连续,则常数。由于,,函数在点处连续,则要求
,即。
二、导数与微分
(一)符号等的含义:该类符号表示:函数在点的某一邻域内有定义,当自变量x在处取得增量(点+仍在该邻域内)时,相应地函数取得增量;如果当时,极限:存在,则称此极限值为函数在点处的导