高等代数知识点总结.docx

文档介绍：高等代数知识点总结第二章行列式知识点总结一行列式定义 a11 1、n级行列式aij n a12? ?a1n ? 等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积a1j1a2j2?anjn的代? a21?an1 a22?a2nan2?ann 数和,这里j1j2?jn是一个n级排列。当j1j2?jn是偶排列时,该项前面带正号;当j1j2?jn是奇排列时,该项前面带负号,即: a11 aij? n a12? ?a1n ?? j1j2?jn a21?an1 a22?a2nan2?ann ?(?1)?(j1j2?jn)a1j1a2j2?anjn。 2、等价定义 aij? n i1i2?in ?(?1)? (i1i2?in) ai11ai22?ainn和aij? n i1i2?in和j1j2?jn ?(?1)?(i1i2?in)??(j1j2?jn)ai1j1ai2j2?ainjn 3、由n级排列的性质可知,n级行列式共有n!项,其中冠以正号的项和冠以负号的项各占一半。 4、常见的行列式 1)上三角、下三角、对角行列式 a11 a22 ? 0? a2n?1 ?an1 ??anna1n a11 a22 ? ?0?0 an1 0?ann a1n a2,n?1 ? ? a11 a22 ? ann a1n ?an1 a2,n?1 ? ?(?1) n(n?1)2 ?a11a22?ann 2)副对角方向的行列式 a1na2,n?1?an1 3)范德蒙行列式: 1a1a12?a1n?1 1a2 2a2? ???? 1an 2an??(ai?aj) 1?j?i?n ? n?1n?1a2?an (n?2) 二、行列式性质 1、行列式与它的转置行列式相等。2、互换行列式的两行,行列式变号。 3、行列式中某一行中所有的元素都乘以同一个数,等于用这个数乘以此行列式。即:某一行中所有的元素的公因子可以提到整个行列式的外面。 4、若行列式中有两行成比例,则此行列式等于零。 5、若某一行是两组数之和,则这个行列式等于两个行列式之和,而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样。 6、把行列式某一行的各元素乘以同一数然后加到另一行对应的元素上,行列式不变。三、行列式的按行展开 1、子式 1)余子式:在n级行列式D?aij中,去掉元素aij所在的第i行和第j列后,余下的n-1级行列式称为aij的余子式,记作Mij。 2)代数余子式:Aij?(?1)i?jMij称为aij的代数余子式。 2 3)k级子式:在n级行列式D?aij中,任意选定k行和k列(1?k?n),位于这些行列交叉处的k个元素,按原来顺序构成一个k级行列式M,称为D的一个k级子式。当(k?n)时,在D中划去这k行和k列后余下的元素按照原来的次序组成的n?k级行列式M?称为k级子式M的余子式。2、按一行展开 1)行列式任一行的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值,即按第i行展开D?ai1Ai1?ai2Ai2???ainAin(i?1,2,?,n);按第j列展开D?a1jA,2,?,n);1j?a2jA2j???anjAnj(j?1 2)行列式某一行的元素与另一行的对应元素的代数余子式乘积之和等零,即 ai1Aj1?ai2Aj2???ainAjn?0(i?j);或a1iA1j?a2iA2j???aniAnj?0,(i?j). 3、按k行展开拉普拉斯定理:在n级行列式中,任意取定k个行(1?k?n?1),由这k行元素组成的所有的k级子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式的值。4、其他性质 1)设A为n阶方阵,则A??A;2)设A为n阶方阵,则kA?kA; 3)设A,B为n阶方阵,则AB?AB,但A?B?A?B;4)设A为m阶方阵,设B为n阶方阵,则 n A?A0 ??AB,但A?B?A?B。0B?B 5)行列式的乘法定理:两个n级行列式乘积等于n级行列式 a11?a1nb11?b1nc11?c1n ???????????其中cij?ai1b1j?ai2b2j??ainbnj,i,j?1,2,?,?an1bn1?1 四、行列式的计算 1、计算行列式常用方法:定义法、化三角形法、递推法、数学归纳法、拉普拉斯定理等等。具体计算时需要根据等到式中行元素的特点来选择相应的解题方法。方法一:递推法分为直接递推法和间接递推法。用直接递推法的关键是找出一个关于Dn?1的代数式来表示Dn,依次从D1?D2?D3?D4??Dn,逐级递推便可以求出Dn的值。方法二:数学归纳法。第一步发现和猜想;第二步证明猜想的正确性。第二步的关键是首先要得到Dn关于Dn?1和Dn?2的递推关系式。方法三:加边法。加边法是将所要计算的n级行列式适当地添加一行一列得到一个新的n+1级行列式,保持行列式的值不变,但是所得到的n+1