文档介绍：正方形判定的方法
正方形的定义可知:正方形不仅是特殊的平行四边形,而且是邻边相等的特殊矩形,也是有一个角是直角的特殊的菱形。它们的包含关系如图(1): 矩形、菱形、正方形都是有特殊条件的平行四边形。 由
从图(1)中可以知道,平行四边形包含了矩形、菱形、正方形、而正 方形又被包含在矩形和菱形中,因而要判定一个四边形是正方形,可以 从两步来着手,一步先判定四边形是矩形,再一步判定这个矩形又是菱 形;
或者:先判定四边形是菱形,再判定这个菱形也是矩形。
范例精讲 例1:已知:如图(2),点A‘、B’、C‘、D’分别是正方形ABCD
的边AB、BC、CD、DA的中点,
求证:四边形A'B'C'D'是正方形。
分析(1)你能证明四边形是矩形吗?
(2)你能证明四边形是菱形吗??
(3)你能证明四边形是正方形吗??
请大家完成证明
证明:
∵四边形ABCD是正方形 ∴AD=AB=BC, ∠A=∠B=90° 又∵AD‘=AD AA’=A‘B=AB BB’=BC ∴AD’=AA’=A‘B=BB’ ∴∠1=∠2=∠3=∠4=45°
∴∠D‘A’B‘=180°-∠1-∠3=180°-45°-45°=90° 同理:∠A’B‘C’=90° ∠B‘C’D‘=90° ∴四边形A’B‘C’D‘是矩形
在△D’AA‘和△A’BB‘中
∴△D'AA'≌△A'BB'(SAS) ∴A'D'=A'B' ∴四边形A'B'C'D'是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)
练****求证:对角线垂直平分且相等的四边形是正方形。
已知:如图(3),四边形ABCD中对角线
AC、BD相交于点O,且AC=BD,
AO=CO,BO=DO,AC⊥BD。
求证:四边形ABCD是正方形。
请大家先根据题意,画出图形然后写出已知,求证,
求证:对角线垂直平分且相等的四边形是正方形。
已知:如图(3),四边形ABCD中对角线
证明:
∵AO=CO,BO=DO ∴四边形ABCD是平行四边形
又AC=BD ∴平行四边形ABCD是矩形 又∵AC⊥BD ∴平行四边形ABCD是菱形,
即四边形ABCD是正方形
解题小结: 正方形即是特殊的矩形,又是特殊的菱形。它没有明确的判定定理,要判定一个四边形是正方形,基本思路就是证明这个四边形既是菱形又是矩形。因而得到这个四边形是正方形。事实上,我们可以把本例作为正方形的一个判定定理:即:即角线垂直平分且相等的四边形是正方形。
AC、BD相交于点O,且AC=BD,AO=CO, BO=DO,AC⊥BD。 求证:四边形ABCD是正方形。
:如图(4)矩形ABCD中,∠A、∠B、∠C、∠D 的平分线组成四边形A'B'C'D',
分析:
判定一个四边形是正方形可以选择:
求证:四边形A'B'C'D'是正方形。
下面请大家进行证明。
(1)先证明它是矩形,再证它有一组邻边相等;
(2)先证明它是菱形,再证它有一个角等于90°
已知:如图(4)矩形ABCD中,∠A、∠B、∠C、∠D的平分线组成四边形A'B'C'D',
证明:在四边形ABCD中
求证:四边形A'B'C'D'是正方形。
又∵AB‘=BD’且AA‘=BA’(已证) AB'-AA'=BD'-BA' A'B'=A'D' ∴四边形A'B'C'D'是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)
∵AB'、BD'、CD'、DB'分别平分∠DAB、∠ABC、∠BCD、∠CDA
∴∠B'=∠D'=90°
∴∠1=∠2=∠3=∠4=45°
AD=BC ∴△AB'D≌△BD'C (ASA) ∴AB'=BD'=CD'=DB' 同理可证:∠D'A'B'=∠D'C'B'=90且AA'=BA'=CC'=DC' ∴四边形A'B'C'D'是矩形(有三个角都是直角的四边形是矩形)
:
,O是对角线的交点,能判定这个四边形是正方形的是: =BO=CO=DO,AC⊥BD ∥BC ∠A=∠C =CO BO=DO AB=BC =BD
3 .四个内角都相等,四条边也都相等的四边形一定是:
练****br/>1:(C)
2(A)
3:(A)
请大家说出正方形与平行四边形、矩形、菱形的内在联系?
掌握正方形的判定的方法。 正方形中,课本上没有给出明显的判定定理,它只告诉我们,要判定一个四边形是正方形,分两个步骤:
平行四边形它包含了矩形、菱形、正方形;而正方形又包含在矩形和菱形中。
第一步先判定四边形是矩形,再判定这个矫形又是菱形;或者:
先判