高中立体几何解题模型.doc

文档介绍：增强模型意识,口算解题不再是梦想
新课标教材对高中立体几何的教学分成了两套思路。一套是传统思路,以欧
式几何中的公理、定理及推论作为一条主线,灵活添加辅助线,数形结合求得题
解;另一套则是借助空间直角坐标系,将立体图形坐标化,从而将几何问题完全
转化成代数问题,再通过方程来解决问题。
在此,我愿意另辟蹊径,用模型的意识来看待立体几何问题,利用补形法,
力争将高考立体几何大题变为口算题!为了实现这一目标,我们先来熟悉一下几
个模型:
1、长方体的“一角”模型
在三棱锥 P - A B C中, PA ^ PB, PB ^ PC , PC ^ PA
,
P
c
a
且 PA = a, PB = b, PC = c .
①三棱锥 P - ABC的高
b
C
A
abc
h =
B
a 2b 2 + b 2c 2 + c 2a 2
证明:设直线 AH交 BC于 D点,由于 H点一定在△ABC内部,所以 D点
一定在 BC上,连结 △PAD中:
P
bc
a × (
)
b 2 + c
2
abc
+ b
c
PH =
=
a
bc
a
2
b
2
2
c
2
+ c
2
a
2
b
a 2 + (
) 2
2
A
C
b 2 + c
H
D
②二面角P - BC - A, P - CA - B, P - AB - C的平面角分
B
别是:
b 2 + c 2 , arctan b a 2 + c 2 , arctan c a 2 + b 2
arctan a
.
bc
ac
ab
例 1、四棱锥 P - ABC D中,底面 ABC D是边长为 2的正方形,
PA ^面ABCD, PA = 1,求 A - DP - B的大小.
分析:考虑三棱锥 A - PDB,它就是模型 1-长方
P
体的“一个角”.本来我们可以利用结论②
解:设二面角 A - DP - B的大小为a .
D
A
B
C
1
AB × PA 2 + AD
2
= 1´ 2 +
1´
1 = 6,故a = arctan
2
6
则: tan a =
PA × AD
2
2
我们看到象例 1这样本来是高考中大题目,可是抓到了长方体“一角”,做起
来就变得很轻松了.
例 2、直二面角 D - AB - E中,ABCD是边长为 2的正方形(见图)AE=
BE,求 B点到面 ACE的距离.
D
C
分析: D-AB-E是直
二面角,BC⊥面 ABE,当然面 ABCD⊥面 ABE,又因
为 ABCD是正方形,BC要垂直于面 ABE.
在 ABE中,AE就是面内的一条线,而 BE就是 BF
在该面内的射影,而 AE是垂直于 BF,这是因为 BF垂
直面 ACE的,所以 AE是垂直于面 AE垂
A
B
E
直于 BF,又有 AE=BE,所以△
△ABE的形状.
C
D
补充图形,在正方体 ABCD -
O
里看直二面角的局部图形.
D