文档介绍：线性空间的一些直观感悟
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今天先谈谈对线形空间和矩阵的几个核心概念的理解。这些东西大部分是凭着自己的理解写出来的,基本上不抄书,可能有错误的地方,希望能够被指出。但我希望做到直觉,也就是说能把数学背后说的实质问题说出来。
首先说说空间(space),这个概念是现代数学的命根子之一,从拓扑空间开始,一步步往上加定义,可以形成很多空间。线形空间其实还是比较初级的,如果在里面定义了范数,就成了赋范线性空间。赋范线性空间满足完备性,就成了巴那赫空间;赋范线性空间中定义角度,就有了内积空间,内积空间再满足完备性,就得到希尔伯特空间。
总之,空间有很多种。你要是去看某种空间的数学定义,大致都是“存在一个集合,在这个集合上定义某某概念,然后满足某些性质”,就可以被称为空间。这未免有点奇怪,为什么要用“空间”来称呼一些这样的集合呢?大家将会看到,其实这是很有道理的。
我们一般人最熟悉的空间,毫无疑问就是我们生活在其中的(按照牛顿的绝对时空观)的三维空间,从数学上说,这是一个三维的欧几里德空间,我们先不管那么多,先看看我们熟悉的这样一个空间有些什么最基本的特点。仔细想想我们就会知道,这个三维的空间:1. 由很多(实际上是无穷多个)位置点组成;2. 这些点之间存在相对的关系;3. 可以在空间中定义长度、角度;4. 这个空间可以容纳运动,这里我们所说的运动是从一个点到另一个点的移动(变换),而不是微积分意义上的“连续”性的运动,
上面的这些性质中,最最关键的是第4条。第1、2条只能说是空间的基础,不算是空间特有的性质,凡是讨论数学问题,都得有一个集合,大多数还得在这个集合上定义一些结构(关系),并不是说有了这些就算是空间。而第3条太特殊,其他的空间不需要具备,更不是关键的性质。只有第4条是空间的本质,也就是说,容纳运动是空间的本质特征。
认识到了这些,我们就可以把我们关于三维空间的认识扩展到其他的空间。事实上,不管是什么空间,都必须容纳和支持在其中发生的符合规则的运动(变换)。你会发现,在某种空间中往往会存在一种相对应的变换,比如拓扑空间中有拓扑变换,线性空间中有线性变换,仿射空间中有仿射变换,其实这些变换都只不过是对应空间中允许的运动形式而已。
因此只要知道,“空间”是容纳运动的一个对象集合,而变换则规定了对应空间的运动。
下面我们来看看线性空间。线性空间的定义任何一本书上都有,但是既然我们承认线性空间是个空间,那么有两个最基本的问题必须首先得到解决,那就是:
1. 空间是一个对象集合,线性空间也是空间,所以也是一个对象集合。那么线性空间是什么样的对象的集合?或者说,线性空间中的对象有什么共同点吗?
2. 线性空间中的运动如何表述的?也就是,线性变换是如何表示的?
我们先来回答第一个问题,回答这个问题的时候其实是不用拐弯抹角的,可以直截了当的给出答案。线性空间中的任何一个对象,通过选取基和坐标的办法,都可以表达为向量的形式。通常的向量空间我就不说了,举两个不那么平凡的例子:
L1. 最高次项不大于n次的多项式的全体构成一个线性空间,也就是说,这个线性空间中的每一个对象是一个多项式。如果我们以x0, x1, ..., xn为基,那么任何一个这样的多项式都可以表达为一组n+1维向量