文档介绍：。[解]设下三角矩阵L的逆矩阵为T我们可以使用待定法,求出矩阵T的各列向量。为此我们将T按列分块如下:注意到我们只需运用算法1·1·1,逐一求解方程便可求得[注意]考虑到内存空间的节省,我们可以置结果矩阵T的初始状态为单位矩阵。这样,我们便得到如下具体的算法:算法(求解下三角矩阵L的逆矩阵T,前代法),而且线性方程组是非奇异的,试给出一种运算量为的算法,求解该方程组。[解]因,故为求解线性方程组,可先求得上三角矩阵T的逆矩阵,依照上题的思想我们很容易得到计算的算法。于是对该问题我们有如下解题的步骤:(1)计算上三角矩阵T的逆矩阵,算法如下:算法1(求解上三角矩阵的逆矩阵,回代法。该算法的的运算量为)(2)计算上三角矩阵。运算量大约为.(3)用回代法求解方程组:.运算量为;(4)用回代法求解方程组:运算量为。算法总运算量大约为::如果是一个Gauss变换,则也是一个Gauss变换。[解]按Gauss变换矩阵的定义,易知矩阵是Gauss变换。下面我们只需证明它是Gauss变换的逆矩阵。事实上注意到,,使[解]比较比较向量和可以发现Gauss变换L应具有功能:使向量的第二行加上第一行的2倍;使向量的第三行加上第一行的2倍。:如果有三角分解,并且是非奇异的,那么定理1·1·2中的L和U都是唯一的。[证明]设,其中都是单位下三角阵,都是上三角阵。因为A非奇异的,于是注意到,单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵,两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵;上三角阵的逆仍是上三角阵,两个上三角阵的乘积仍是上三角阵。因此,上述等将是一个单位下三角阵与一个上三角阵相等,故此,它们都必是单位矩阵。即,从而即A的LU分解是唯一的。。[证明]令是单位下三角阵,是上三角阵。定义如下容易验证:,并假定经过一步Gauss消去之后,A具有如下形式证明仍是对称阵。[证明]根据Gauss变换的属性,显然做矩阵A的LU分解的第一步中的Gauss变换为其中,将A分块为那么即由A的对称性,对称性则是显而易见的。,即A满足又设经过一步Gauss消去后,A具有如下形式试证:矩阵仍是严格对角占优阵。由此推断:对于对称的严格对角占优矩阵来说,用Gauss消去法和列主元Gauss消去法可得得同样的结果。[证明]依上题的分析过程易知,题中的于是主对角线上的元素满足(1)非主对角线上的元素满足由于A是严格对角占优的,即故从而(2)综合(1)和(2)得即,矩阵仍是严格对角占优阵。。指出当把Gauss消去法应用于矩阵时,怎样才能不必存储L而解出Ax=b?需要多少次乘法运算?[解]用Gauss消去法作A的LU分解,实际上就是对系数矩阵A作了一组初等行变换,将其化为上三角矩阵U。而这一组的初等行变换对应的变换矩阵就是,即如果把这一组初等行变换施加于方程右端向量b上,即有这就是说,方程组和是同解方程。而后者是上三角形方程组,可运用本章算法1·1·2求解。这样我们就不必存储L,通求解方程组,来求解原方程组。算法如下:(1)用初等变换化;(2)利用回代法求解方程组。该算法所需要的加、减、乘、,如果对A执行Gauss消去一步产生一个形式为的矩阵,证明仍是正定阵。[证明]不妨设从而有由于非奇异,故对且,构造,及,则由A的正定性有由x的任意性知,正定。。矩阵称为是在A中的Schur余阵。证明:如果有三角分解,那么经过步Gauss消去以后,S正好等于(1·1·4)的矩阵[证明]因为有三角分解,所以矩阵A可保证前步Gauss消去法可以顺利完成。即有如下单位下三角矩阵使注意到比较两式便知,,:如果用全主元Gauss消去法得到PAQ=LU,则对任意有[证明]略。。[解]设A是非奇异的,则应用列主元Gauss消去法可得到这里:P是置换阵,L是单位下三角阵,U是上三角阵。于是,通过求解下列n个方程组便可求得于是也就是说,求A的逆矩阵,可按下列方案进行:(1)用列主元Gauss消去法得到:;(2)经求解:得;(3)对X进行列置换得:。:A=LU。试设计一个算法来计算的(i,j)元素。[解]求解方程组则x的第i个分量就是的(i,j)元素。:如果是严格对角占优阵(参见第8题),那么A有三角分解A=LU并且[证明]仿照第8题的证明,容易证明:对于是严格对角占优阵,经过一步Gauss消去后,得到其中仍是严格对角占优阵。A的三角分解A=LU中这样,我们在