文档介绍：立体几何大题题型训练
题型一、空间的平行与垂直证明
1、在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AA1=4,点D是AB的中点, (I)求证:AC⊥BC1; (II)求证:AC 1//平面CDB1;
2、已知正六棱柱的所有棱长均为,为的中点.
(Ⅰ)求证:∥平面;
(Ⅱ)求证:平面⊥平面;
(Ⅲ)求异面直线与所成角的余弦值.
3、(2007武汉3月)如图所示,四棱锥P—ABCD中,ABAD,CDAD,PA底面ABCD,PA=AD=CD=2AB=2,M为PC的中点。
(1)求证:BM∥平面PAD;
(2)在侧面PAD内找一点N,使MN平面PBD;
(3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦。
题型二求空间距离
考点1 点到平面的距离
1、(福建卷理)如图,正三棱柱的所有棱长都为,为中点.
A
B
C
D
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)求点到平面的距离.
2、2010江西如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD平面BCD,AB平面BCD,。
(Ⅰ)求点A到平面MBC的距离;
(Ⅱ)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。
考点2 直线到平面的距离
1、已知斜三棱柱,,,在底面上的射影恰为的中点,又知。
(I)求证:平面;
(II)求到平面的距离;
(III)求二面角的大小。
题型三空间角的计算
考点1 求异面直线所成角
1、(北京卷)如图,在中,,,.
(I)求证:平面平面;
(II)求异面直线与所成角的大小.
2、(广东卷)如图所示,AF、DE分别是⊙O、⊙,AD=8,BC是⊙O的直径,AB=AC=6,OE//AD.
(Ⅰ)求二面角B—AD—F的大小;
(Ⅱ)求直线BD与EF所成的角
考点2 直线和平面所成的角
1、(全国卷Ⅰ理)四棱锥中,底面为平行四边形,,,,.
(Ⅰ)证明;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的大小.
2、如图,在正三棱柱中, , 点是的中点,点在上,且.
(Ⅰ)证明:平面平面;(Ⅱ)求直线和平面所成角的正弦值.
考点3 二面角
1、(全国Ⅱ•理•19题)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱SD⊥底面ABCD,E、F分别是AB、SC的中点。
A
B
C
D
P
E
F
第38题图
第39题图
(Ⅰ)求证:EF∥平面SAD;(Ⅱ)设SD = 2CD,求二面角A-EF-D的大小;
2、(2010陕西)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA  ⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2 √  2,E,F分别是AD,PC的中点(Ⅰ)证明:PC  ⊥平面BEF;(Ⅱ)求平面BEF与平面BAP夹角的大小。

题型一
1、解法一:(I)直三棱柱ABC-A1B1C1,底面三边长AC=3,BC=4AB=5,
∴ AC⊥BC,且BC1在平面ABC内的射影为BC,∴ AC⊥BC1;
(II)设CB1与C1B的交点为E,连结DE,∵ D是AB的中点,E是BC1的中点,
A
B
C
A1
B1
C1
E
x
y
z
∴ DE//AC1,∵ DE平面CDB1,AC1平面CDB1,
∴ AC1//平面CDB1;
解法二:∵直三棱柱ABC-A1B1C1底面三边长AC=3,BC=4,AB=5,∴AC、BC、C1C两两垂直,如图,以C为坐标原点,直线CA、CB、C1C分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D(,2,0)
(1)∵=(-3,0,0),=(0,-4,0),∴•=0,∴AC⊥BC1.
(2)设CB1与C1B的交战为E,则E(0,2,2).∵=(-,0,2),=(-3,0,4),∴,∴DE∥AC1.
2、证明:(Ⅰ)因为AF∥BE,AF平面,
所以AF∥平面,
x
y
z
同理可证,∥平面,
所以,平面∥平面
又平面,所以∥平面
(Ⅱ)因为底面是正六边形,所以⊥,
又⊥底面,所以⊥,
因为,所以⊥平面,
又平面,所以平面⊥平面
(Ⅲ)由于底面是正六边形,所以⊥.如图,
.
则,,从而两异面直线与所成角的余弦值为
.
16.
已知等腰梯形PDCB中(如图1),PB=3,DC=1,PB=BC=,A为PB边上一点,且PA=1,将△PAD沿AD折起,使面
PAD⊥面ABCD(如图2)。
(1)证明:平面PAD