文档介绍：隐函数的极值求法
数理学院数学与应用数学数学071本指导教师:
摘要:将显函数极值存在的各种相关定理和求解方法推广并应用到隐函数中去,得到有关一元、二元及多元隐函数极值问题的一些命题。从简单到复杂,层层深入,给解答隐函数的极值问题提供了思路、方法及依据,并形成一个简要的框架,以方便日后灵活地解决各种函数的极值问题。
关键词:隐函数;极值;导数;矩阵;正定性
在所学的数学分析教材中,研究了显函数求极值的问题。得到了以下定理。
一元显函数求极值:
定理.(费马定理)设函数在点的某邻域内有定义,且在点可导。若点为的极值点,则必有。
定理.(极值的第一充分条件)设在点连续,在某邻域内可导
(i)若当时,当时,则在点取得极小值。
(ii)若当时,当时,则在点取得极大值。
定理.(极值的第二充分条件)设在某邻域内一阶可导,在处二阶可导,且,。
(i)若,则在取得极大值。
(ii)若,则在取得极小值。
定理.(极值的第三充分条件)设在的某邻域内存在直到阶导函数,在处阶可导,且,则
(i)当为偶数时,在取得极值,且当时取极大值,时取极小值。
(ii)当为奇数时,在处不取极值。
二元显函数求极值:
定理.(极值的必要条件)若函数在点存在偏导数,且在取得极值,则有,。
反之,若函数在点满足,,则称点为的稳定点。
定理.(极值的充分条件)设二元函数在点的某邻域内具有二阶连续偏导数,且是的稳定点。则当是正定矩阵时,在取得极小值;当是负定矩阵时,在取得极大值;当是不定矩阵时,在不取极值。
其中,它为在的黑赛矩阵。即有:
(i)当,时,在点取得极小值;
(ii)当,时,在点取得极大值;
(iii)当时,在点不能取得极值;
(iv)当时,不能肯定在点是否取得极值。
多元显函数求极值:
定理.(极值必要条件)设为开集,实值函数在可微,且取极值,则
(i)必为的稳定点,即;
(ii)又若在的某邻域存在连续二阶偏导数,则当为极小值时,在的黑赛矩阵为正定或半正定;当为极大值时,在的黑赛矩阵为负定或负半定。
若在的黑赛矩阵为不定时,则在不取极值。
定理.(极值充分条件)上述函数若在存在连续二阶偏导数,且,则当为正定(负定)时,在取严格极小(极大)值。
2. ,,形式的隐函数求极值
形式的隐函数求极值
在数学分析教材中讨论了一元函数的极值问题,隐函数的存在唯一性定理和可微性定理。以下通过应用推广到形式的隐函数求极值问题上。
由隐函数存在定理可知确定的隐函数的导数为,当不存在时,也就是当时,可以通过曲线的对称性及导数在导数不存在点两侧的正负性,来判断导数不存在点是否为极值点。
以下着重讨论的情况:
由极值的第一充分条件可以看出当经过一个点时导数变号,则有极值,而导数不变号,则没有极值。可以推导出以下命题。
,且,,,则由方程可确定隐函数。
(i)如果在点两侧符号相异,那么在处取极值。
(ii)如果在点两侧符号相同,那么在处不取极值。
证明:
由隐函数存在定理
由得是的稳定点。
又,不妨设
据极限的保号性可知
,有,
因此在附近的符号取决于的符号,而连续,则对,关于连续,即。
所以在附近符号取决于,再根据极值的第一充分条件可知命题1成立。
当在驻点处二阶导数不为零时,利用二阶在驻点附近的正负情况判断驻点是否为极值点,得到以下的命题。
,且,,,由方程所确定的隐函数,则
(i)与同号时,在处取极大值,
(ii)与异号时,在处取极小值,
证明:
两边关于求导得
两边再关于求导得
由于
,代入上式可得
再根据极值的第二充分条件可知命题2是成立的。
当在驻点处二阶导数为零时,根据极值的第三充分条件可以得到以下命题。
,且,,,
,由方程所确定的隐函数,
则(i)当为奇数时,不取极值。
(ii)当为偶数时,取极值。
若与同号,则在处取极大值,;
若与异号,则在处取极小值,。
证明:
先用数学归纳法证明在满足以上条件时,有。
当时,由隐函数存在惟一性定理可知显然成立。
假设当时结论成立,即。
当时,
。
再根据极值的第三充分条件可知命题3是成立的。
。
解:设
即
解得
因为在的两侧是异号的,则极值是存在的
,
在取极大值且。
。
解:设
即
解得,
,
,
,
所确定的隐函数在处取极小值,。
,3为奇数,
所确定的隐函数在处不