文档介绍：多元函数条件极值的解法与应用

【摘要】多元函数条件极值是多元函数微分学的重要组成部分,本文研究的是代入法、拉格朗日乘数法、标准量代换法、不等式法、二次方程判别式符号法、梯度法、数形结合法等方法在解多元函数条件极值问题上的运用,以及探讨多元函数条件极值在证明不等式、物理学、生产销售等问题上的应用.
【关键词】极值;条件极值;拉格朗日乘数法;梯度法;应用

多元函数条件极值是多元函数微分学的重要组成部分,它不仅在理论上有重要的应用,而且在其它学科及有关实际问题中有着广泛的应用,于是如何判定与求解多元函数条件极值就成为许多学者研究的问题,虽然以前也有不少学者研究过,但多数还只是理论上的研究,[1]讨论了方向导数法在求解多元函数条件极值上应用,文[2],通过具体实例对各种解法进行分析类比,从中可以看到不同的条件极值问题可以有不同的解题方法,其中最常用的是拉格朗日乘数法,、物理学、生产销售等实际应用问题.

,如果对该邻域内任一异于的点都有(或),则称函数在点有极大值(或极小值).极大值、极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.

.
3. 多元函数普通极值存在的条件
(必要条件)若元函数在点存在偏导数,且在该点取得极值,则有
备注:使偏导数都为的点称为驻点,但驻点不一定是极值点.
(充分条件)设元函数在附近具有二阶连续偏导数,

正定时,为极小值;当负定时,为极大值;当不定时,不是极值.
记,并记
,
:
,则二次型是正定的,此时为极小值;若,则二次型是负定的,此时为极大值.
特殊地,当时,有如下推论:
,且
令
则①当时,.
②当时,没有极值.
③当时,不能确定,需另行讨论.

通过一个量用其它量代替的方法达到降元效果,将条件极值化为无条件极值问题来解决一些较为简单的条件极值问题,这种方法适用于约束函数较为简单的条件极值求解,有些条件极值很难化为无条件极值来解决.
.
解由解得,
将上式代入函数,得
解方程组
得驻点
,,
在点处,
,所以不是极值点
从而函数在相应点处无极值;
在点处,
,
又,所以为极小值点
因而,函数在相应点处有极小值
极小值为.

拉格朗日乘数法是求多元函数条件极值的一种常用方法,特别是在约束条件比较多的情况下使用拉格朗日乘数法更方便适用.
求目标函数在条件函数组限制下的极值,若及有连续的偏导数,且Jacobi矩阵
的秩为,则可以用拉格朗日乘数法求极值.
首先,构造拉格朗日函数
然后,解方程组
从此方程组中解出驻点的坐标,所得驻点是函数极值的可疑点,需进一步判断得出函数的极值.
(充分条件) 设点及个常数
满足方程组,
则当方阵
为正定(负定)矩阵时,为满足约束条件的条件极小(大)值点,因此为满足约束条件的条件极小(大)值.
.
解此椭球在点处的切平面为

化简,得
此平面在三个坐标轴上的截距分别为:
则此切平面与三坐标面所围成的四面体的体积
由题意可知,体积存在最小值,要使最小,则需最大;
即求目标函数在条件下的最大值,
其中,拉格朗日函数为
由解得;
说明:以上介绍的两种方法为解多元函数条件极值的常用方法,但在实际解题过程中,我们还可以根据多元函数的一些特点选择其它一些特殊解法来快速解题,如标准量代换法、不等式法、二次方程判别式法、梯度法、数形结合法.
标准量代换法
求某些有多个变量的条件极值时,我们可以选取某个与这些变量有关的量作为标准量,称其余各量为比较量,然后将比较量用标准量与另外选取的辅助量表示出来,,一般设这几个量的算术平均数为标准量.
,求的