第六讲 微分方程模型(人口模型.传染病模型.战争模型).ppt

文档介绍：微分方程模型
在研究某些实际问题时,经常无法直接得到各变量之间的联系,问题的特性往往会给出关于变化率的一些关系。利用这些关系,我们可以建立相应的微分方程模型。在自然界以及工程技术领域中,微分方程模型是大量存在的。它甚至可以渗透到人口问题以及商业预测等领域中去,其影响是广泛的。
引言
一、建立微分方程的方法
1、按变化规律直接列方程,如:
利用人们熟悉的力学、数学、物理、化学等
学科中的规律,如牛顿第二定律,放射性物质的
放射规律等。对某些实际问题直接列出微分方程.
2、模拟近似法,如:
在生物、经济等学科中,许多现象所满足的
规律并不很清楚,而且现象也相当复杂,因而需
根据实际资料或大量的实验数据,提出各种假设,
在一定的假设下,给出实际现象所满足的规律,
然后利用适当的数学方法得出微分方程。
二、建模步骤
1、翻译或转化:
在实际问题中许多表示导数的常用词,如
“速率”、‘增长”(在生物学以及人口问题研究中),
“衰变”(在放射性问题中),以及“边际的”(在经
济学中)等.
2、建立瞬时表达式:
根据自变量有微小改变△t时,因变量的增
量△W,建立起在时段△t上的增量表达式,令
△t →0,即得到的表达式.
3、配备物理单位:
在建模中应注意每一顷采用同样的物理单位.
4、确定条件:
这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界
上的信息,它们独立于微分方程而成立,用以确
定有关的常数。为了完整充分地给出问题的数学
陈述,应将这些给定的条件和微分方程一起列出。
一、建模步骤
关于建模步骤的一个例子
例1:某人的食量是10467焦/天,其中5038焦/
天用于基本的新陈代谢(即自动消耗)。在
健身训练中,他所消耗的热量大约是69焦/
公斤•天乘以他的体重(公斤).
假设以脂肪形式贮藏的热量100%地有效, 而1公斤脂肪合热量41868焦。试研究此人的体重随时间变化的规律.
例子分析
1、翻译或转化:
2、配备物理单位:
3、建立表达式:
4、确定条件:
1、“每天”:体重的变化=输入一输出
其中输入指扣除了基本新陈代谢之后的净重量
吸收;输出是进行健身训练时的消耗(WPE).
2、上述陈述更好的表示结构式:
体重的变化/天=净吸收量/天一WPE/天
其中:
净吸收量/天=10467 – 5038 =5429(焦/天)
净输出量/天=69(焦/公斤·天)×W/(公斤
=69W(焦/天)
3、体重的变化/天= (公斤/天)
有些量是用能量(焦)的形式给出的,而另外
一些量是用重量的形式(公斤)给出,考虑单位
的匹配,利用
单位匹配