文档介绍：,,,, 的存在性(以为例):在数列的“”定义中,我们曾经提到过,的存在性重在“存在”,而对于如何去找以及是否能找到最小的无关紧要;对也是如此,只要对给定的,能找到某一个,能使时,,仅用于个人学****注3 讨论函数在某点的极限,重在局部, .注5 ,有,称为归结原则――海涅(Heine),利用定理必要性的逆否命题,可以方便地验证某些函数极限不存在;而利用定理的充分性,又可以借用数列极限的现成结果来论证函数极限问题.(会叙述,证明,特别充分性的证明.)文档收集自网络,仅用于个人学****注6 ,, 函数在无穷处的极限设在上有定义,则使得,,, .注2 , 函数的有界设在上有定义,若存在一常数,使得,有, 无穷大量使得,,,可定义,,,,且和,使得,有,则. 特别的,若,, 无穷小量若,,,,在的某空心邻域内有界,,且当足够大时,有界,,无穷大量的倒数是无穷小量,,其他极限过程类似.(1),则极限唯一.(2),则,使得,有.(3),,且,则,使得,有注这条性质称为函数的“局部保号性”.在理论分析论证及判定函数的性态中应用极普遍.(4),,且当时,则.(5),,则()要求:①进行运算的项数为有限项;②,有,且,,当,时,,,且,则(1)当时,称为的高阶无穷小量,记作;(2)当时,称为的低阶无穷小量;(3)当且时,,当时,称和为等价的无穷小量,记作~.注1上述定义中,自变量的变化过程也可用,,,,,常见的等价无穷小有:~,~,~,~,~,~在用等价无穷小替换计算极限时,一般都要强调限定对“乘积因式”:若~(),则或(为某逼近过程).而对于非乘积因式,,若为无穷小量,则在此极限过程,有~.10两个重要极限(1);(2).二、典型例题例用定义证明下列极限:(1);(2).例,证明:(1)若,则有;(2).例设是上的严格严格单调函数,又若对(),有,试证明:.例函数在点的某邻域内有定义,且对(),且(),有,证明:.例设函数,,满足(),且()则()问:在题设条件下,是否有?答:,且,则().例求下列函数极限(1)();(2)();(3).例求下列极限(1);(2);(3).例求下列极限:(1);(2).