一元三次方程与元四次方程的根.doc

文档介绍：,(立方和展开公式:)令,得(5-1)所以,(5-1)的根,即现在讨论方程设它的两个根与,则(5-2)(5-3)由于,,,共有3个值,因而共有9个值,这9个值不可能都是方程(5-1)的根,对于取定的,只能取,使得是3个开方值中的一个,是1的立方根.=而的值如果是方程(5-1)的根,则方程(5-1)的另外两个根为现在讨论(1)当如D>0,则是实数,实数的立方根有一个实数,,(5-1)的实数根(因为是实数),其余两个根分别为这里显然有,所以三次方程有一个实根和两个共轭复数根.(2)当时,设为实数值,由于知,=也为实数值,所以根为另外两个根为所以三个根都是实数,且有两个根相同.(3),所以由于实系数三次方程必有一个根是实数,设(复数的开方:设z=r(cosθ+isinθ),其中r>0,则z的n次方根有n个,它们是:)是实数根,因为为实数根也是实数,所以是共轭复数,这时方程的另外两个根是由于都是实数,所以三次方程的根都是实数,,得这时即方程有一个实根,两个共轭复数根:原方程的根为例2解方程解这里p=-12,q=16,D=,得(5-2)在上述方程加一参数得取使得方括号里是完全平方项,这时判别式D=0,即(5-3)方程(5-3)除外均为已知数,(5-3)的一个根,,这里的求法有三种,而又有两个解,,伽罗瓦理论告诉我们,一般并不存在根式解,即不会有求根公式.