文档介绍：非齐次常系数线性微分方程的特殊解法
摘要:本文首先给出了升阶法的定义,以及利用升阶法求常微分方程的特解,然后给出几个定理及其证明,运用这些定理可以求解非齐常系数线性微分方程,,使得解方程的过程得到了有效的简化.
关键词:非齐次;常系数;线性;解法
线性微分方程在常微分方程学中占有一定的地位,其中,,苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候,就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时,对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布•贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标,一旦求出通解的表达式,就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式,了解对某些参数的依赖情况,便于参数取值适宜,使它对应的解具有所需要的性能,还有助于进行关于解的其他研究
近几年,国内外学者对非齐常系数线性微分方程的解法也有许多研究:
2005年11月,唐烁在安徽教育学院学报第二十三卷第六期发表的《常系数线性非齐次微分方程组的初等解法》中利用初等方法,直接得到两个未知函数的一阶常系数线性非齐次微分方程组的通解方式.
2007年4月,赵辉在安徽电子信息职业技术学院学报第六期发表的《二阶常系数线性非齐次微分方程的一种特殊解法》中对二阶常系数非齐微分方程运用了一种特殊的解法,使得求解此方程变的方便快捷.
2008年6月,陈新明、胡新姣在大学数学第二十四卷第三期发表的《常系数线性非齐次微分方程的简单解法》中得到的求n阶常系数线性非齐次微分方程一般解更方便的方法,以及几种特殊情形的表达式.
对于非齐次方程,我们的解法是通解加特解得方法,所谓通解,就是先解出非齐次方程组所对应其次方程组的基础解系,然后再随便找一个特解满足非
齐次方程组即可,然后把它们相加组合起来,就是非其次方程的解本文将给出非齐次常系数线性微分方程的一些解法,有助于以后更简便的求解这类方程。
为了求解非齐常系数线性微分方程,首先要求方程的特解,这里给出求特解的一种方法-升阶法。
定义:当为多项式时,设
此时,方程(1)两边同时对求次,得
显然方程(1)的解存在,且满足上述各方程。最后一个方程的一个明显解(不妨设时情况类似)是:
此时。由与通过倒数第二各方程可得,依次往上推,一直推到(1),即可得到方程(1)的一个特解。上面这种方法称为升阶法。
解的结构定理
定理1(解的叠加原理):设分别是方程和的特解,则有是方程的特解。
证明:将代人方程的左端,
得证。
定理2 设是方程的特解,则分别是方程和的特解。(其中是实系数多项式)
证明:把代人方程
有:
所以;
(方程的两端实部、虚部相同) 得证。
阶常系数非齐次线性微分方程的定义
对阶常系数非齐次线性微分方程
, (1)
, (2)
称为方程(1)的特征函数,记,方程(1)可写成
又记次多项式(3)
引理1
, (4)
其中
证明: 先证明, (5)
(5)式对
的情形成立,则
,
即(5)(4)式.
记
引理2 若由(3)式给出,且,则
(6)
证明: 引理1中取,得。在上式中将换为次多项式,得
,
由此有
因为
,以及,
所以有,由此得
,
(6)式成立。
定理3 记。对阶常系数非齐线性微分方程
,其中为常数,可以是复常数。若为的重根,则方程(7)的特解为
, (8)
其中由
(9)
确定
证明: 设方程()的一个解为。由引理1,。因为为的次多项式,所以当时,。将在处利用公式展开,得
。
因为为的重根,所以,注意,方程(7)化为
。(10)
而为次多项式,以及为常数,所以当为多项式时,也是次多项式。记,由(10)式知(9)式成立。因为,所以。方程(7)的特解为。
当为的与重根时,不需经(9)式确定待定系数而直接得到方程(7)的通解。
定理4 若为的重根,则方程(7)的通解为
; (11)
若为的重根,则方程(7)的通解为
(12)
证明:若为的重根,由定理1,方程(7)的特解为,此时(9)式为,所以。对积分次再乘以得(11)式。
若为的重根,为了得到通解,用证明定理1的方法证明(12)式。设方程(7)的通解为,与定理1一样证明,知由(10)式确定。又因为,此时(10)式为,其