文档介绍：Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;mercialuse薇芆袅§2 柯西中值定理和不等式极限肄蒈螂一 柯西中值定理蚈莅蒈定理(>设、满足蒃芈蚇(i> 在区间上连续,蒅蒃莂(ii>在内可导羃罿螃(iii> 不同时为零。蒇袅袁(iv> 莂蝿肆则至少存在一点 使得薈羄肂                            螁葿薀莆莆罿 柯西中值定理的几何意义 芇芆蒆曲线由参数方程蒃蒁袃    羀肆蚂给出,除端点外处处有不垂直于轴的切线,薅蕿肇则上存在一点P处的切线平行于割线.。莀螇袅  注意曲线AB在点处的切线的斜率为莂羁薃,衿蒇螃莃肀蒀 艿芈莄 蒅蒂莃而弦 的斜率为蚈羈薀. 节薁薈 肇蒄肈 芄虿肄 薇芅薂受此启发,可以得出柯西中值定理的证明如下:莅肁羀由于,芀羅蒇  类似于拉格朗日中值定理的证明,作一辅助函数膂膀螄                   虿蚅荿  容易验证满足罗尔定理的条件且芄薂聿聿蒆袆根据罗尔定理,至少有一点   使得 ,即芅蚀薄蒈膆蒁由此得肂肃***羈羇芆注2:在柯西中值定理中,取,则公式<3)可写成膄膁芅莇蚇蒂这正是拉格朗日中值公式,而在拉格朗日中值定理中令,则. :设在区间I上连续,则在区间I上为常数,.肀蒇螅三、利用拉格朗日中值定理研究函数的某些特性羃蚂肅1、利用其几何意义蒀膈艿要点:由拉格朗日中值定理知:满足定理条件的曲线上任意两点的弦,必与两点间某点的切线平行。肄螀蚈可以用这种几何解释进行思考解题:罿蚄膅   例1:设在<a,b)可导,且在[a,b]上严格递增,若,则对一切肅膃螆有。莈莄莁证明:记A<),,对任意的x,记C<),作弦线AB,BC,应用拉格袃芁羀朗日中值定理,使得分别等于AC,BC弦的斜率,但因严格递增,所以螈膅袈<,从而羄荿节<***袅莂注意到,移项即得<,肅螂聿2、利用其有限增量公式蚇蚆芇要点:借助于不同的辅助函数,可由有限增量公式螃袀羂莀莆腿进行思考解题:袄膃芇例2:设上连续,在<a,b)内有二阶导数,试证存在使得蝿肆蚇蚁莁螃证:上式左端腿袇芁螃葿蕿作辅助函数薈薇膆螄螂蒃则上式