文档介绍：第八章单位根检验
由于非平稳过程可能存在严重的伪回归问题,所以在对序列进行估计之前,需要检验序列的平稳性。本章介绍了严格的平稳性的统计检验方法--单位根检验。在简要介绍四种主要的非平稳随机过程以产输出单位根检验原理之后,文章主要介绍ADF检验及PP检验法,以及介结构突变和单位根检验。
四种典型非平稳过程简介
前面我们知道,若一个时间序列含有某种变动趋势,即该序列的均值或自协方差函数随时间而改变,则称该序列为非平稳序列。下面介绍四种典型的非平稳过程。
,t=1,2,... ()
若为独立随机分布,即,。则称为随机游走过程(Random Walk Process)。随机游动过程是单位根过程的特例。在现实经济社会中,如股票价格的走势便是随机游走序列。下图是,生成的序列。
随机游走过程,生成的序列图
,, ()
其中称为漂移项,由于序列一阶差分后便趋于平稳,又称随机趋势过程为差
分平稳过程。
,生成的序列
,其中,, ()
由于,即当减去退势后为平稳过程,故趋势平稳过程又称为退势平稳过程。
由,知:
()
将(4)两边同时乘以,与(3)两边同时相减,整理可得:
, ()
其中,,
这样便得出趋势平稳过程的另一种形式。
,生成的序列
, ()
其中称为漂移项,称为趋势项。这种过程在实际经济中很少见。
单位根检验
DF检验
考虑AR(1)回归模型
, ()
(1) 如果-1< <1,则平稳。
(2) 如果=1,序列是非平稳序列。()式可写成:显然的差分序列是平稳的。
(3) 如果 r 的绝对值大于1,()式可写成: 。序列发散,且其差分序列是非平稳的。
因此,判断一个序列是否平稳,可以通过检验是否严格小于1来实现。
生成随机游走过程:,,,
OLS估计式为:
零假设和备择假设分别为
得到的估计值,并对其进行显著性检验的方法,构造检验显著性的 t 统计量。但是,Dickey-Fuller研究了这个t 统计量在原假设下已经不再服从t分布,它依赖于回归的形式
(是否引进了常数项和趋势项) 和样本长度T。
构造DF统计量
, ()
Mackinnon进行了大规模的模拟,给出了不同回归模型、不同样本数以及不同显著性水平下的临界值,。
模型(a):数据生成过程:,,
OLS估计式:
;
模型(b):数据生成过程:,,
OLS估计式:
;
模型(c):数据生成过程:,,
OLS估计式:
;
这样,就可以根据需要,选择适当的显著性水平,通过t统计量来决定能否拒绝原假设。这一检验被称为Dickey-Fuller检验(DF检验)
根据Mackinnon给出的临界值,若用样本计算的DF>临界值,则接受原假设,非平稳;若DF<临界值,则拒绝原假设,接受备择假设。
(Augmented Dickey-Fuller Test)
关于AR(p)过程
,t=1,2,…. ()
上式存在p阶序列相关,用p阶自回归过程来修正,在上式两端减去,通过添项和减项的方法,可得
()
其中, 。
零假设和备择假设为:;。原假设为至少存在一个单位根;备选假设为:序列不存在单位根。序列可能还包含常数项和时间趋势项。判断的估计值是接受原假设或者接受备选假设,进而判断一个高阶自相关序列AR(p) 过程是否存在单位根。
类似于DF检验,Mackinnon通过模拟也得出了不同回归模型、不同样本数以及不同显著性水平下的临界值。这使我们能够很方便的在设定的显著性水平下判断高阶自相关序列是否存在单位根。并且,Said-Dickey(1984)证明()式中的的DF统计量的分布与()式中的DF统计量相似。当()式中分别加入漂移项和趋势项后,其的DF统计量的分布分别与()式和()式中的DF统计量相似。这样,DF和ADF检验法可以共用一个DF分布百分位数表,作为临界值的参考。
在进行ADF检验时,必须注意以下两个实际问题:
第一,必须为回归定义合理的滞后阶数,通常采用AIC准则来确定给定时间序列模型的滞后阶数。在实际应用中,还需要兼顾其他的因素,如系统的稳定性、模型的拟合优度等。
第二,选择哪种形式很重要,检验显著性水平的t统计量在原假设下的渐近分布依赖是否存在常数项、趋势项,对应临界值也不同