文档介绍：设是平面单连通区域,若在上连续且具有一阶连续偏导数,则一下六个条件等价:(1)在内处处成立;(2)沿中任意分段光滑闭曲线,有;(3)在内与路径无关,只与的起点和终点有关;(4)在内存在可微的单值数量函数,使是的全微分,即(5)矢量函数为某单值数量函数的梯度,即(6)为全微分方程.【第三组】设是平面有界区域,若在上连续且具有一阶连续偏导数,则给出两个条件:(1)在内与路径无关,只与的起点和终点有关;(2)在内处处成立.(1)可以推出(2);但(2)推不出(1).【注】(1)对比第一组和第二组理论,我们可以看出,第一组比第二组缺少“是单连通区域”和“在上连续”这两个条件;(2)对比第二组和第三组理论,当是平面连通区域时,“在内处处成立”与“在内与路径无关”互为充要条件;当是平面有界区域(也就是说,没有指明是否为单连通区域)时,“在内处处成立”仅仅是“在内与路径无关”的必要非充分条件,看个例子.【例】设,在上有,但沿圆周正向一周的曲线积分于是曲线积分不是与路径无关.(3)关于全微分方程的注释若存在二元函数,使,则称微分方程为全微分方程,,可以验证,在全平面上,,,于是有,【例1】设具有一阶连续偏导数,曲线过第二象限内的点和第四象限内的点,为上从点到点的一段弧,则下列积分小于零的是(A)(B)(C)(D).【解】在上,可将其代入被积函数,化简积分表达式,且由题意,设、点的坐标分别为,则必有,于是;;;.故选择(B).【例2】在变力的作用下,一质点由原点沿直线运动到椭球面上第一卦限的点,问取何值时,所作的功最大,并求.【解】设线段的参数方程,(1)(2) (3)(4)(1),(2),(3),比较一下,立即看出,又,则,得,从而由实际问题,,故从原点沿直线到作功最大,最大功为.【例3】计算,其中,为连接点与点的线段之下方的任意线路,且该线路与线段所围成的图形面积为.【解】,,,,故.【例4】已知平面区域,:(1);(2).【证明】(1)根据格林公式,得,,根据轮换对称性,所以,故.(2)由于,于是,故【例5】确实常数,使得在右半平面上的向量为某二元函数的梯度,并求.【解】记,则,,若为二元函数的梯度,则,.注意到:易见与为连续函数,因此,可得即,,则,,如作为,则【例6】设是二阶可微函数,且,若是全微分方程,试求.【解】由,得,可得由知,从而,于是,由知,故.【例7】设具有连续导数,满足,且在平面区域内的任一封闭曲线L的积分:试求函数.【分析】沿任意封闭曲线积分等于零的条件处处成立,