文档介绍：用 Matlab 解微分方程
一、微分方程的解析解
求微分方程(组)的解析解用函数dsolve。
dsolve(‘方程1’, ‘方程2’,…‘方程n’, ‘初始条件’, ‘自变量’)
结果:u =tan(t+C1)
输入命令: y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')
结果: y =3*exp(-2*x)*sin(5*x)
解
解输入命令:
[x,y,z]=dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z','Dy=4*x-5*y+3*z','Dz=4*x-4*y+2*z', 't');
结果为:
x =exp(2*t)*C1+C2*exp(-t)-C2*exp(2*t)+exp(2*t)*C3-3*exp(-t)
y =-C1*exp(-2*t)+exp(2*t)*C1+C2*exp(-2*t)+C2*exp(-t)-C2*exp(2*t)+exp(2*t)*C3-C3*exp(-t)
z =-C1*exp(-2*t)+exp(2*t)*C1-C2*exp(2*t)+C2*exp(-2*t)+exp(2*t)*C3
二、微分方程的数值解
(一)常微分方程数值解的定义
在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂且大多得不出一般解。而在实际上对初值问题,一般是要求得到解在若干个点上满足规定精确度的近似值,或者得到一个满足精确度要求的便于计算的表达式。
因此,研究常微分方程的数值解法是十分必要的。
(二)建立数值解法的一些途径
1、用差商代替导数
若步长h较小,则有
故有公式:
此即欧拉法。
2、使用数值积分
对方程y’=f(x,y), 两边由xi到xi+1积分,并利用梯形公式,有:
实际应用时,与欧拉公式结合使用:
此即改进的欧拉法。
故有公式:
3、使用泰勒公式
以此方法为基础,有龙格-库塔法、线性多步法等方法。
4、数值公式的精度
当一个数值公式的截断误差可表示为O(hk+1)时(k为正整数,h为步长),称它是一个k阶公式。
k越大,则数值公式的精度越高。
欧拉法是一阶公式,改进的欧拉法是二阶公式。
龙格-库塔法有二阶公式和四阶公式。
线性多步法有四阶阿达姆斯外插公式和内插公式。
(三)用Matlab软件求常微分方程的数值解
[t,x]=solver(’f’,ts,x0,options)
ode45 ode23 ode113ode15sode23s
由待解方程写成的m-文件名
ts=[t0,tf],t0、tf为自变量的初值和终值
函数的初值
ode23:组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法
ode45:运用组合的4/5阶龙格-库塔-芬尔格算法
自变量值
函数值
用于设定误差限(缺省时设定相对误差10-3, 绝对误差10-6),
命令为:options=odeset(’reltol’,rt,’abstol’,at),
rt,at:分别为设定的相对误差和绝对误差.
1、在解n个未知函数的方程组时,x0和x均为n维向量,m-文件中的待解方程组应以x的分量形式写成.
2、使用Matlab软件求数值解时,高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组.
注意: