文档介绍：数学实验报告实验二学院:数学与统计学院班级:信息与计算科学(1)班姓名:郝玉霞学号:201171020107实验二一、实验名称:π的计算二、实验目的:首先在Mathematica环境中用多种方法计算圆周率的值,通过实验来体会各种方法的区别,比较各种方法的优劣,接着尝试自己提出新的方法来计算圆周率的值。三、实验环境:学校机房,Mathematica软件。四、实验的基本理论和方法1、用Mathematica绘图函数Plot绘制圆周率;2、计算圆周率的数值积分法、泰勒级数法、蒙特卡罗法,并且利用特定的公式来计算圆周率。五、实验的内容和步骤及实验的结果和结果分析步骤一、数值积分法计算因为单位圆的半径为1,它的面积等于,所以只要计算出单位圆的面积,就算出了。在坐标轴上画出以圆点为圆心,以1为半径的单位圆,则这个单位圆在第一象限的部分是一个扇形,而且面积是单位圆的1/4,于是,我们只要算出此扇形的面积,便可以计算出。当n=5000时;语句:n=5000;y[x_]:=4/(1+x*x);s1=(Sum[y[k/n],{k,1,n-1}]+(y[0]+y[1])/2)/n;s2=(y[0]+y[1]+2*Sum[y[k/n],{k,1,n-1}]+4*Sum[y[(k-1/2)/n],{k,1,n}])/(6*n);Print[{N[s1,20],N[s2,30],N[Pi,30]}];实验结果:当n=10000时;语句:n=10000;y[x_]:=4/(1+x*x);s1=(Sum[y[k/n],{k,1,n-1}]+(y[0]+y[1])/2)/n;s2=(y[0]+y[1]+2*Sum[y[k/n],{k,1,n-1}]+4*Sum[y[(k-1/2)/n],{k,1,n}])/(6*n);Print[{N[s1,20],N[s2,30],N[Pi,30]}];Plot[{4(1-x*x)},{x,0,1}]实验结果:图11/4个单位圆结果分析:,可以看出,用这种方法计算所得到的值是相当精确的,n越大,计算出来的扇形面积的近似值就越接近的准确值。步骤二、泰勒级数法计算利用反正切函数的泰勒级数来计算。语句:T[x_,n_]:=Sum[(-1)^k*x^(2k+1)/(2k+1),{k,0,n}];N[4*T[1,20000],20]//TimingT[x_,n_]:=Sum[(-1)^k*x^(2k+1)/(2k+1),{k,0,n}];Print[N[4*(T[1/2,260]+T[1/3,170]),150]];Print[N[16*(T[1/5,110]-4*T[1/239,30]),150]];Print[N[Pi,150]]实验结果:结果分析:从实验过程可以看出,这种方法花费的时间很长。原因是当x=1时得到的的展开式收敛太慢。要使泰勒级数收敛得快,容易想到,应当使x的绝对值小于1,最好是远比1小。例如,因为,所以我们可以计算出的值,从而得到的值。这样,就使得收敛速度加快。改进后可以看出,泰勒级数法得到的结果比数值分析法精确到小数点后更多位。步骤三、蒙特卡罗法计算在数值分析法中,我们利用求单位圆的1/4面积来得到,从而得到。单位圆的1/4是一个扇形,它是边长为1的