文档介绍：实变函数第20讲第3章可测函数教学内容:,却是E上几乎处处有限的可测函数。称在E上依测度收敛到的(记作),如果,恒有定理4(Lebesgue)设E是测度有限的可测集,函数序列是E上几乎处处有限的可测函数列,若,则证明,要证:事实上,由叶果洛夫定理,使得在上一致收敛到,即,恒有故即因此即刚才证明了:若,则成立。下列问题是自然的:问题:若在可测集上有,则是否一定有成立?下面例子是上述问题的一个否定回答:,对任意正整数,将等分,并定义令于是是上的处处有限的可测函数。对于,若,则,有因此,若,则当是第次等分区间后所对应的函数组中第个时,即时,有因此,因为则从而,在上,有下证:在上处处不收敛。事实上,对于,有子列,合于:而也有子列,合于故并且因此不收敛。从而在处处不收敛。定理5.(Riesz定理)设是E上的可测函数,如果,则存在子序列,使得证明:要找的子序列,使即,因为所以,只需找使得,事实上,,由,有所以,对于恒有特别地,对于,有不失一般性,可设,则是的子列。现在来证:,有对于,因为,有故所以,