文档介绍：实变函数讲稿(第 20 讲) 教学内容: 依测度收敛详细教案§3. 2. 可测函数的逼近定理 3. 依测度收敛定义 2 设 E 可测集, , , , ?,却是)(xf )( 1xf )( 2xf E 上几乎处处有限的可测函数. 称在)(xf n E 上依测度收敛到的( 记作), 如果) (xf ff n ? 0>?ε,恒有 0}| ) () ( || { lim = ≥?∞→ε xfxf x mE n n . 定理 4 ( Lebesgue )设 E 是测度有限的可测集,函数序列)(xf , , , ?)( 1xf )( 2xf 是 E 上几乎处处有限可测函数列,若,则. )() (xfxf n →][..Eea ff n ?证明 0>?ε,要证: 0}| ) () ( | | { lim = ≥?∞→ε xfxf x E n n . 事实上, 0>?δ,由叶果洛夫定理, EE ??δ, δδ< ?)(EEm ,使得在上一致收敛到,即)(xf n δ E )(xf N ?∈?, , Nn≥?δEx ∈?,恒有ε< ?|)() ( |xfxf n 故, , Nn≥?δε EEx f x f x E n ??≥?}|)() ( | | { ,即, δεδ< ?≤≥?)(} | ) ( ) ( | | {EEmx f x f x mE n . 因此, 0}| ) () ( | | { lim = ≥?∞→ε xfxf x mE n n . 即, . □ ff n ?刚才证明了:若,则成立. 下列问题是自然的: )() (xfxf n →][..Eea ff n ?问题若在可测集 E上有 ,则是否有一定有成立? ff n ?)() (xfxf n →][..Eea ▉▉ 实变函数下面例子是上述问题的一个否定回答: 例 1. 设)1,0[ = E ,对任意正整数,将等分,并定义 k )1,0[ ),, 2 , 1( ), 1 [, 0 ), 1 [, 1 )( )( ki k i k i x k i k i x xf k i ?= ????????∈= 令, )() ( )1( 1 1 xfx = ?, )() ( )2( 1 2 xfx = ?, ,)() ( )2( 2 3 xfx = ?)() ( )3( 1 4 xfx = ?, , , )() ( )3( 2 5 xfx = ?)() ( )3( 3 6 xfx = ??)() ( )( 1 1 2 )1( xfx k kk = + ??, )() ( )( 2 2 2 )1( xfx k kk = + ??, )() ( )( 3 3 2 )1( xfx k kk = + ??, ?于是, 是∞= 1 )}({ nn x ? E 上的处处有限的可测函数. 对于 0>?ε,若 1 > ε,则 n ?∈?,有φε?= ≥}|)(| | { xxE n . 因此, 0}| ) ( || {lim= ≥∞→ε? xxmE n n ; 若 1 ε≤,则当)( x n ?是第次等分区间后所对应的函数组中第 i 个时,即 k )1,0[ )() ( )(xfx k i n = ?时,有), 1 [}| ) ( | | { } | )