文档介绍：2013年全国高考理科数学试题分类汇编14:导数与积分
一、选择题
.(2013年高考湖北卷(理))已知为常数,函数有两个极值点,则 ( )
A. B.
C. D.
【答案】D
.(2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理))已知函数,下列结论中错误的是 ( )
,
,则在区间上单调递减
,则
【答案】C
.(2013年高考江西卷(理))若则的大小关系为 ( )
A. B.
C. D.
【答案】B
.(2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题)设函数 ( )
,无极小值 ,无极大值
【答案】D
.(2013年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题)设函数的定义域为R,是的极大值点,以下结论一定正确的是 ( )
A.
【答案】D
.(2013年高考北京卷(理))直线l过抛物线C: x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于 ( )
A. C. D.
【答案】C
.(2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题)已知为自然对数的底数,设函数,则 ( )
,在处取得极小值 ,在处取得极大值
,在处取得极小值 ,在处取得极大值
【答案】C
二、填空题
.(2013年高考江西卷(理))设函数在内可导,且,则______________
【答案】2
.(2013年高考湖南卷(理))若_________.
【答案】3
.(2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷)若曲线在点处的切线平行于轴,则______.
【答案】
三、解答题
.(2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理))已知函数.
(Ⅰ)设是的极值点,求,并讨论的单调性;
(Ⅱ)当时,证明.
【答案】
.(2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题)已知函数
(I)求证:
(II)若恒成立,求实数取值范围.
【答案】
.(2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷)设函数,,其中为实数.
(1)若在上是单调减函数,且在上有最小值,求的取值范围;
(2)若在上是单调增函数,试求的零点个数,并证明你的结论.
【答案】解:(1)由即对恒成立,∴
而由知<1 ∴
由令则
当<时<0,当>时>0,
∵在上有最小值
∴>1 ∴>
综上所述:的取值范围为
(2)证明:∵在上是单调增函数
∴即对恒成立,
∴
而当时,> ∴
分三种情况:
(Ⅰ)当时, >0 ∴f(x)在上为单调增函数
∵∴f(x)存在唯一零点
(Ⅱ)当<0时,>0 ∴f(x)在上为单调增函数
∵<0且>0
∴f(x)存在唯一零点
(Ⅲ)当0<时,,令得
∵当0<<时,>0;>时,<0
∴为最大值点,最大值为
①当时,,,有唯一零点
②当>0时,0<,有两个零点
实际上,对于0<,由于<0,>0
且函数在上的图像不间断∴函数在上有存在零点
另外,当,>0,故在上单调增,∴在只有一个零点
下面考虑在的情况,先证<0
为此我们要证明:当>时,>,设,则,再设
∴
当>1时,>-2>0,在上是单调增函数
故当>2时,>>0
从而在上是单调增函数,进而当>时,>>0
即当>时,>,
当0<<时,即>e时,<0
又>0 且函数在上的图像不间断,
∴函数在上有存在零点,又当>时,<0故在上是单调减函数∴函数在只有一个零点
综合(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)知:当时,的零点个数为1;当0<<时,的零点个数为2
.(2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷)设函数(其中).
(Ⅰ) 当时,求函数的单调区间;
(Ⅱ) 当时,求函数在上的最大值.
【答案】(Ⅰ) 当时, ,
令,得,
当变化时,的变化如下表:
极大值
极小值
右表可知,函数的递减区间为,递增区间为,.
(Ⅱ) ,令,得,,
令,则,所以在上递增,
所以,从而,所以
所以当时,;当时,;
所以
令,则,令,则
所以在上递减,而
所以存在使得,且当时,,当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减.
因为,,所以在上恒成立,当且仅当时取得“”.
综上,函数在上的最大值.
.(2013年高考江西卷(理))已知函数,为常数且.
(1) 证