文档介绍：例1飞船的月球软着陆问题。安全着陆(1)消耗的燃料最小;(2)h=0,vt=0,假设t=0时刻启动软着陆程序,则运动方程为,飞船从初始状态(t=0)实现软着陆,约束条件:飞船消耗燃料最小的目标最终目标:例2导弹拦截问题:指发射火箭拦击敌方洲际导弹或其天航天武器。:L与目标M的相对位置和相对速度:相对加速度:拦截器的质量:推力大小初始条件()运动方程:拦截器既要控制其推力的大小,又要控制推力的方向。(1)瞬时推力满足成功实现快速拦截,尽可能节约燃料,建立性能指标(目标)例3空对空导弹拦截假设(1)导弹与目标的运动发生在同一水平面内;(2)能产生较大的铅重方向升力以抵消导弹的重量;(3)导弹推力方向与其速度方向一致;(4)目标以定常速度航向飞行。目标的运动方程m是导弹L的质量,F是导弹侧向控制力,c推进器的排出速度,是秒流量,是导弹的阻力因子。导弹的运动方程令,则状态变量状态控制量则状态方程为1一个n维函数向量对数量自变量t的导数。2一个矩阵函数导数也是对其每一个元素,分别求导数。性质:设A,B,C场函数矩阵,数量函数,则有:例1试求对t的导数,是n维函数向量,是对称常数矩阵。解:(注意:)例2证明,设,。证明:利用和。1设是以向量为自变量的数量函数,是n维列向量,则-------可用来求梯度:2设为m向量函数,且x为n维列向量,则,性质:,,,实用等式3设为函数矩阵,x为n维列向量变量,即,,,,注:一般,学会区分。例1求数量函数在及的梯度。解:设,例2若是m维常列向量,是关于x的m维列向量函数,根据前面的公式例3已知x是n维列向量,A为维常数矩阵,试求。解:,其中是n维列向量,则行向量可表示为:故例4求二次型对向量自变量x的导数。解:1设为数量函数,为矩阵,则(为常数)2设为l维列向量函数,为矩阵,则3设为维矩阵,为矩阵变量,则,例1设x是n维列向量,y是m维列向量,为矩阵,试求导数。1设,(为数量函数,为关于的向量函数,为数量自变量),则。2设,,则。3设,则4设,则,5设,则,例1求函数向量对的导数,其中是常量列向量,是列向量。解:例2求的导数,其中是常数矩阵,是常数矩阵,是维常向量。解:设,则是的复合函数方法:函数的无条件极值拉格朗日乘数法库恩-塔克尔(Kuhn-Tucker)定理(1)函数的无条件极值假设多元函数,设法求,使在达到最小值。,(条件1)函数在取得相对极小值的充要条件:例1对于给定的二次函数,其中是对称常数矩阵,那么,求极小值点。例2如果,求极值点。(2)拉格朗日乘子法设连续可微的标量函数为,约束条件为,其中,,,求使标量函数为最小的控制向量。方法:先设拉格朗日函数,其拉格朗日乘子,则取得最小值的充分条件:,其中,,,,,,,,,。例1求函数满足约束条件的极小值。解:拉日函数:为了检验驻点是否为极小值,试求出。将代入判定式中得因此驻点是极小值。例2求满足约束,且使函数最小的,其中和均为标量,a,b,c均为正的常数。解:验证是否为最小值。代入(3)库恩—塔克尔(Kuhn-Tucker)定理设函数连续可微,在连续可微的不等式,的约束下在处取得极小值的必要条件为,其中,,。例1求满足下列约束下求函数的极小值。解:(1)在两个约束的边界之内求解,成立,,。两个约束边界之内求解:令满足解得,不是最小解。两个约束边界之上求解:令满足满足成立,