文档介绍：全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)一、填空题(每小题5分,共20分)/(无)是连续函数,且满足/(x)=3x2-j~f(x)dx-2,则f(x)= .曲面z=y+r-2平行平面2x+2y-z=0的切平面方程是・设函数y= 方程xef{y}=eyIn29确定,其中/具有二阶导数,且广幻,则d2yP-t-p-4-•••-f-p二(5分)求极限lim( y,其屮〃、(15分)设函数/(X)连续,g(兀)二「/(力)也,且二A,A为常数,求Q(x)并J° XT()兀讨论g‘(兀)在兀=、(15分)己知平而区域D={(x,y)\0<x<7r,0<y<7r},厶为D的正向边界,试证:(1) fxes[nydy一ye-s[nxdx才xe~<inydy-yes[nxdx:五、 (10分)己知yi=xex+e2\旳=诊+厂,儿二皿”+戶一旷”是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,、 (10分)设抛物线y=o?+/x+,y>0,又已知该抛物线与兀轴及直线x=,b,c,、(15分)已知冷⑴满足un(x)=un(x)+xn~}exh=1,2,••-,且冷⑴=£,(非数学类)一、(25分,每小题5分)设xn=(l+a)(l+a2)---(l+a2),其中\a\<l,求lim兀“.—8求1+-XT8 y(3) 设5>0,求/“=[e~sxxndx{n=1,2,…). /I\ *\2(4) 设函数/⑴有二阶连续导数,r=Jx2+y\g^y)=f丄,求磐+磐.\rJ dxdyr(5) 求直线厶:[x~y=。与直线厶:兰二2=口=三的距离.'[z=0 - 4 -2 -1二、(15分)设函数/(兀)在(一8,+8)上具有二阶导数,并且厂(x)>0,limf\x)=6r>0,XT2limf\x)=ytf<0,且存在一点兀(),使得/(心)<:方程/(X)=0在(-oo,+oo)、(15分)设函数y=/(x)由参数方程P=2z+/2(r>-l)所确定,且空二」—,卜二鸭⑴ 心4(1+0其中0(/)具有二阶导数,曲线)=0⑴与y=\'e-^du+—在r=l出相切,求函数0(f).Ji 2e四、(15分)设,证明:(1)当。>1时,级数f牛收敛;o(x心5+°°a(2)当QS1且》Too(A?Too)时,级数工*发散.”=iS”五、(15分)设/是过原点、方向为(4,0,力,(其中6z2+/?2+r=1)的直线,均匀椭球X2y2z2—+^+—<1(其中0<c<b<a,密度为1)绕/「l(1) 求其转动惯量;(2) 求其转动惯量关于方向(Q,0,y)、(15分)设函数俠兀)具有连续的导数,在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上,曲线积分必2兀=°的值为常数.(1) 设厶为正向闭曲线u-2)2+r=1,证明巾巧晳警)dy=o;別x+y(2) 求函数0(兀);(3)设C是闱绕原点的光滑简单止向闭曲线,2011年第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)-、计算下列各题(本题共3小题,每小题各5分,共15分)(1)求lim(2)•求lim"T8111) 1 … n+nJ(3)已知“ln(l+戶),求与y=t-arctane1心二、(本题10分)求方程(2x+y-4)dr+(x+y-l)dy=、(本题15分)设函数/(兀)在*0的某邻域内具有二阶连续导数,且/(0),广(0),广(0)均不为0,证明:存在唯一一组实数&也局,使得liJ』⑴+3(2力)+3(3切-.几())=°D /?22 22四、(本题17分)设乙:2+鼻+二=1,其中a>b>c>0,Z,:z2=x2+/,「为乙与乙a~b~c2 _ ~的交线,求椭球面乙在「、(本题16分)已知S是空间曲线f^3r=1绕y轴旋转形成的椭球面的上半部分(z“)(取上侧),口是S在P(兀,y,z)点处的切平面,p(x,y,z)是原点到切平面口的距离,入":(1)(兀,y,z)dS;(2)JJz(/lx+3,Q+uz)dSs六、(本题12分)设/(x)是在(yo,+oo)内的可微函数,H\f\x)\<mf(x)其中0<m<\,任取实数。0,定义a”=In/(%),/?=1,2,...,证明:£(a“-a“_i)=1七、(本题15分)是否存在区间[0,2]上的连续可微函数f(x),满足/