第五章、矩阵的特征值和特征向量.ppt

文档介绍：第五章
矩阵的特征值和特征向量
向量的内积和正交化
矩阵的特征值与特征向量
相似矩阵
实对称矩阵的对角化
回忆:
§1 向量的内积和正交化
推广到实数域R上的n维实向量空间
定义1
内积
说明
维向量的内积是3维向量数量积
的推广,但是没有3维向量直观的几何意义.
内积的运算性质
(施瓦兹不等式)
当时上式显然成立
当时,
证毕
定义2
令
长度
范数
向量长度具有以下性质
(1)非负性
只有当时
(2)齐次性
(3)三角不等式
证明:
根据内积的性质有
根据施瓦兹不等式,有
从而
即
当时,
即
定义3
注:零向量与任何向量都正交.
定义4
定义5 若一非零向量组中的向量两两正交,则称该向量组为正交向量组。
定理1 若是正交向量组,则该向量组线性无关。
设
由于对于任意向量
则
即
由于是一正交向量组,
故当时,
因此有
又因为
所以
故线性无关