第四章 特征值与特征向量.ppt

文档介绍：第四章特征值与特征向量
——幂法/* Power Method */
计算矩阵的主特征根及对应的特征向量
对于n阶方阵A,若存在常数和n维非零向量x,满足Ax=x则称为A的一个特征值,称x为A的对应于特征值的特征向量。
注1 若是A的特征值,则有
称之为矩阵A的特征方程,所以特征值也称为特征根。
注2 特征向量不唯一,若x是特征向量,则对任意非零
实数k, kx也是特征向量。但特征值是唯一的。
1
计算矩阵的主特征根及对应的特征向量
 幂法/* the original method */
条件:A 有特征根|1| > |2| …|n|  0,对应n个线性无关的特征向量
思路:从任意出发,
………
| i / 1 | < 1
当k 充分大时,有
这是A关于1的近似
特征向量
2
定理
设 ARnn,其主特征根/* dominant eigenvalue */ 1为实根,且|1| > |2| …|n| 。则从任意非零向量出发, 迭代
收敛到主特征向量, 收敛到1。
注:结论对重根1 = 2 = …= r 成立。
若有1 = 2 ,则此法不收敛。
任取初始向量时,因为不知道,所以不能保证1  0,故所求得之不一定是,而是使得的第一个,同时得到的特征根是m 。
3
 规范化/* normalization */
为避免大数出现,需将迭代向量规范化,即每一步先保证,再代入下一步迭代。一般用。
记:
则有:
例1 求矩阵按模最大的特征值1和相应的特征向量
解: 见表4-1
所以1≈. x1≈(,,1)T,而精确解为1=5, x1=(,,1)T.
4
对An×n,任取非零向量u0,对k=1,2,…执行以下各步骤:
编制程序可采用如下算法:
退出运算;否则返回1)重做以上步骤。
其中ak 是uk 的绝对值最大的分量, 是yk-1 的绝对值最大的分量。
5) 若
其中ai 是uk-1 的绝对值最大的分量,
输出
5
 反幂法/* Inverse Power Method */
Power Method –Inverse Power Method
若 A 有| 1 | | 2 | …> | n |,则 A1 有
对应同样一组特征向量。
1
1
1
1
1
l
l
l
…
>
-
n
n
A1 的主特征根 A的绝对值最小的特征根
Q: How must pute in every step?
A: Solve a linear system with