文档介绍：Discrete Fourier Transform
Y. Zeng
South China University of Technology, Guangzhou
2013
Lecture 2
1
Table of Contents
Basic Idea of ponents Analysis
Review of Fourier Analysis
Discrete-Time Fourier Transform
Discrete Fourier Transform
About DFT
Properties of the DFT
Applications of the DFT
Additional Report
(1) 大型旋转机械振动信号采集与分析
(2) An introduction on orthogonal frequency-division multiplexing, OFDM
Chapter 8, 10
In two lectures
2
Digital Signal Processing, DFT - L2
Discrete Fourier Transform-DFT
视作n的函数,
视作k的函数,
这样,
分析
综合
Question
(1) x[n]是有限长序列,且长度为N。变换时实际上是将x[n]延拓到了整个整数区间上, [0,N-1]仅为x[n]的”主值表述”;
(2) 序列x[n]经离散Fourier变换后, 将时域序列x[n]变换为定义在[0,N-1]上的频域序列X[k],其中N称为变换区间长度;
(3)X[k]是x[n]的频谱(spectrum)定义在[0,N-1]上的主值表述, 它具有x[n]的全部信息。
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Digital Signal Processing, DFT - L2
变换核为,称为旋转因子(Twiddle Factors );
离散Fourier变换使得时域序列与频域序列之间建立关系,使信号在微处理器上的频域分析成为可能.
DFT using Twiddle Factors (旋转因子)
Question
1
2
3
4
5
6
7
(N-1)
k=0
4
Digital Signal Processing, DFT - L2
7. Applications of the DFT
(1)用DFT计算线性卷积
DFT仅能计算两序列的循环卷积,但实际应用中需要计算两序列的线性卷积,所以有必要先来讨论以下两个问题: 循环卷积与线性卷积之间的关系
L点循环卷积等于线性卷积以L为周期的周期延拓序列的主值序列。
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Digital Signal Processing, DFT - L2
7. Applications of the DFT
(1)用DFT计算线性卷积
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Digital Signal Processing, DFT - L2
7. Applications of the DFT
(1)用DFT计算线性卷积
利用矩阵的乘法可以看出加长后的序列循环卷积为:
由以上计算过程可以知道计算循环卷积与线性卷积结果一样。
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Digital Signal Processing, DFT - L2
7. Applications of the DFT
(1)用DFT计算线性卷积
根据DFT与循环卷积的关系得线性卷积计算方法:
根据以上介绍为了能用DFT计算线性卷积,需要把序列添零加长为L= N+M-1点。这样计算Xl[k]=DFT[x1[n]] 和 Hl[k]=DFT[h1[n]] 都是L点的DFT。当N和M值相差很大时,不仅加大了计算量;而且时延也可能不满足处理要求。这时,可以采取将长序列分段成短序列进行卷积,然后把各段计算结果组合起来得到原卷积计算结果。这就是所谓分段卷积计算方法。该方法可以减少计算量、满足实时处理要求。
根据长序列分段计算卷积后的各段结果组合方法,分段卷积可以有两种方法:
(1)重叠相加法
(2)重叠保留法
不做介绍
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Digital Signal Processing, DFT - L2
7. Applications of the DFT
两个信号之间的关联(相似)程度可以由相关(correlation)来表示.
(2)相关计算
可见,时域的相关运算,可以化为频域的乘积运算,从而可以利用快速算法减少运算量。
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Digital Signal Processing, DFT - L2
7. Applications of the DFT
所谓信号的谱分析就是计算或估计信号在频域的分布特征.
确定性信号是能量有限信号, 我们可直接从其D