文档介绍：2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
数学三试题
一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的,请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1)函数的可去间断点的个数为
(A)1. (B)2. (C)3. (D)无穷多个.
(2)当时,与是等价无穷小,则
(A),. (B),.
(C),. (D),.
(3)使不等式成立的的范围是
(A). (B). (C). (D).
(4)设函数在区间上的图形为
1
-2
O
2
3
-1
1
则函数的图形为
(A)
O
2
3
1
-2
-1
1
(B)
O
2
3
1
-2
-1
1
(C)
O
2
3
1
-1
1
(D)
O
2
3
1
-2
-1
1
(5)设均为2阶矩阵,分别为的伴随矩阵,若,则分块矩阵的伴随矩阵为
(A). (B).
(C). (D).
(6)设均为3阶矩阵,为的转置矩阵,且,
若,则为
(A). (B).
(C). (D).
(7)设事件与事件B互不相容,则
(A). (B).
(C). (D).
(8)设随机变量与相互独立,且服从标准正态分布,的概率分布为,记为随机变量的分布函数,则函数的间断点个数为
(A) 0. (B)1. (C)2 . (D)3.
二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.
(9) .
(10)设,则.
(11)幂级数的收敛半径为.
(12)设某产品的需求函数为,其对应价格的弹性,则当需求量为10000件时,价格增加1元会使产品收益增加元.
(13)设,,若矩阵相似于,则.
(14)设,,…,为来自二项分布总体的简单随机样本,和分别为样本均值和样本方差,记统计量,则.
三、解答题:15~23小题,、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分9分)
求二元函数的极值.
(16)(本题满分10 分)
计算不定积分.
(17)(本题满分10 分)
计算二重积分,其中.
(18)(本题满分11 分)
(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理,若函数在上连续,在上可导,则,得证.
(Ⅱ)证明:若函数在处连续,在内可导,且,则存在,且.
(19)(本题满分10 分)
设曲线,其中是可导函数,,求该曲线的方程.
(20)(本题满分11 分)
设,.
(Ⅰ)求满足,的所有向量,.
(Ⅱ)对(Ⅰ)中的任意向量,,证明,,线性无关.
(21)(本题满分11 分)
设二次型.
(Ⅰ)求二次型的矩阵的所有特征值.
(Ⅱ)若二次型的规范形为,求的值.
(22)(本题满分11 分)
设二维随机变量的概率密度为
(Ⅰ)求条件概率密度;
(Ⅱ)求条件概率.
(23)(本题满分11分)
袋中有一个红球,两个黑球,三个白球,现在放回的从袋中取两次,每次取一个,求以、、分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)求二维随机变量的概率分布.
2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题解析
一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的,请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1)函数的可去间断点的个数为
(A)1. (B)2. (C)3. (D)无穷多个.
【答案】C.
【解析】
则当取任何整数时,均无意义
故的间断点有无穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是的解
故可去间断点为3个,即
(2)当时,与是等价无穷小,则
(A),. (B),.
(C),. (D),.
【答案】A.
【解析】为等价无穷小,则
故排除(B)、(C).
另外存在,蕴含了故排除(D).
所以本题选(A).
(3)使不等式成立的的范围是
(A). (B). (C). (D).
【答案】A.
【解析】原问题可转化为求
成立时的取值范围,由,时,知当时,.故应选(A).
(4)设函数在区间上的图形为
1
-2
O
2
3
-1
1
则函数的图形为
(A)
O
2
3
1
-2
-1
1
(B)
O
2
3
1
-2
-1
1
(C)
O
2
3
1
-1
1
(D)
O
2
3
1
-2
-1
1
【答案】D.
【解析】此题为