数值逼近 第五章 数值积分.doc

文档介绍：Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;(2)具有m次代数精度,试证明对于任意次数不超过m的代数多项式,都有。羄证明:因为对,都有,从而由的线性性质以及任意有:。结论成立。。蒈证明:(1)由,令,则故(2)由于牛顿-柯特斯公式的代数精度,故对零次多项式,有,即,也就是,即,由得。:莄螁证明:由于牛顿-柯特斯公式的代数精度,故在区间上使用牛顿-柯特斯公式对精确成立,即:,也就是:芆或,写成矩阵形式即为:,若不是整数,且,则;若不是整数,且,则。蒁证明:因为,所以:若不是整数,且时,有成立,所以:,于是。再由:莇肄节和得:。膁同理当时,,两边再减有:,即,所以若不是整数,且时,。,。证明:存在成立蒆证明:因在上连续,故在上必取得最大值和最小值,即当时。又若令,则由得:。故由连续函数的介值定理知:必存在,使,即。,则积分区间要多少等分才能保证计算结果有五位有效数字?羂解:欲使,其中,只须,即积分区间要68等分才能保证计算结果有五位有效数字。,利用复化梯形公式按如下的尺度,计算:(1)(2)(3)薄解:(1)时,=(2)时,=(3)时,。芇解:将区间n等分,其节点,在每个小区间上采用辛卜生公式得:,以及:,于是:即:。证毕。:(1),蒀解:(1)令,则:膈荿(2),;肅(3),;膄(4),。,证明复化梯形公式和复化辛卜生公式当时,收敛于积分值。膆证明:将区间n等分,其节点,在每个小区间上采用梯形公式并由在上可积得:;在每个小区间上采用辛卜生公式得:膃11。 :,并用理查森外推法计算的近似值。蚃证明:由于当时,,令得:,即:若令,并记,则上式成为:,因此该公式符合理查森外推法的条件,若记由外推算法:,,并取(即)得:虿***,有8位有效数字。。:羃蚁螁蒈积分的精确值为=。,求证莁,蕿证明:因在上有二阶连续导数,则:,两边积分得:,因在上连续,故存在,使,即:。,试决定求积系数,使之代数精确度尽可能高。肆解:若求积公式对精确成立,则必满足方程组:,解之得:,由于当时,求积公式仍精确成立,但当时,求积公式不再精确成立,故该求积公式具有3次代数精度。